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2. Simple DC circuits

Abb. 1: Example of a circuit electrical_engineering_1:beispielestromkreis.png

So far, only simple circuits consisting of a source and a load connected by wires have been considered.
In the following, more complicated circuit arrangements will be analysed. These initially contain only one source, but several lines and many ohmic loads (cf. Abbildung 1).

2.1 ideal components

goals

After this lesson you should:

  1. Know the representation of ideal current and voltage sources in the U-I diagram.
  2. Know the internal resistance of ideal current and voltage sources.
  3. Know the symbol of ideal current and voltage sources.
  4. Know the properties of ideal resistance and ideal connection.

Every electrical circuit consists of three elements:

  1. Consumers: consumers convert electrical energy into energy that is not purely electrical.
    e.g.
    1. into electrostatic energy (capacitor)
    2. into magnetostatic energy (magnet)
    3. into electromagnetic energy (LED, light bulb)
    4. into mechanical energy (loudspeaker, motor)
    5. into chemical energy (charging an accumulator)
  2. sources (generators): sources convert energy from another form of energy into electrical energy. (e.g. generator, battery, photovoltaic).
  3. wires (interconnections): the wires of interconnection lines link consumers to sources.

These elements will be considered in more detail below.

Consumer

  • The colloquial term 'consumer' in electrical engineering stands for an electrical consumer - i.e. a component which converts electrical energy into another form of energy.
  • A resistor is often also referred to as a consumer. In addition to pure ohmic consumers, however, there are also ohmic-inductive consumers (e.g. coils in a motor) or ohmic-capacitive consumers (e.g. various power supplies using capacitors at the output). Correspondingly the equation „consumer is a resistor“ is wrong.
  • Current-voltage characteristics (vgl. Abbildung 2)
    • Current-voltage characteristics of a load always run through the origin, because without current there is no voltage and vice versa.
    • Ohmic loads have a linear current-voltage characteristic which can be described by a single numerical value.
      The slope in the $U$-$I$-characteristic is the conductance: $I = G \cdot U = {{U}\over{R}}$

Abb. 2: Examples of current-voltage characteristics electrical_engineering_1:beispielestromspannungskennlinie.png

Sources

Ideal Sources


Abb. 3: ideal voltage source electrical_engineering_1:idealespannungsquelle.png

Abb. 4: ideal current source electrical_engineering_1:idealestromquelle.png

The ideal voltage source generates a defined constant output voltage $U_s$ (in German often $U_q$ for Quellenspannung). In order to maintain this voltage, it can supply any current. The current-voltage characteristic also represents this (see Abbildung 3).
The circuit symbol shows a circle with two terminals. In the circuit, the two terminals are short-circuited.
Another circuit symbol shows the negative terminal of the voltage source as a „thick minus symbol“, the positive terminal is drawn wider.

The ideal current source produces a defined constant output current $I_s$ (in German often $I_q$ for Quellenstrom). For this current to flow, any voltage can be applied to its terminals. The current-voltage characteristic also represents this (see Abbildung 4).
The circuit symbol shows again a circle with two connections. This time the two connections are left open in the circle and a line is drawn perpendicular to them.

wire connection

  • The ideal connection line is resistance-free and transmits current and voltage instantaneously.
  • Real existing influences (e.g. voltage drop) of connections are considered via separately drawn components (e.g. ohmic resistance).

2.2 Reference-arrow Systems and first consideration of a DC circuit

Goals

After this lesson you should:

  1. Be able to apply and distinguish between the producer and consumer reference arrow systems.

In the chapter 1. Preparation and Proportions the conventional directional sense of currents and voltages has already been discussed. Unfortunately, with meshed networks it is often not clear ahead of the calculation in which direction the conventional sense of direction of all currents and voltages runs.

In Abbildung 5 such a meshed net is shown. In this circuit a switch $S_1$ and a current $I_2$ are marked.

Abb. 5: Example of a circuit

Merke:

Abb. 8: Reference arrows electrical_engineering_1:bezugspfeile1.png

  • Before the calculation, the reference arrows for currents and voltages are set arbitrarily.
  • After the calculation means
    • $I>0$: The reference arrow reflects the conventional directional sense of the current
    • $I<0$: The reference arrow points in the opposite direction to the conventional directional sense of the current
  • Reference arrows of the current are drawn in the wire if possible.

Generator and Motor (Reference) Arrow System

https://en.wikipedia.org/wiki/Passive_sign_convention#Alternative_convention_in_power_engineering

Generator Arrow System

Abb. 6: Generator Arrow System electrical_engineering_1:erzeugerpfeilsystem.png

With sources (or generators), energy is taken from the environment and made available to the circuit.
For generators, the arrowfoot of the current is attached to the arrowhead of the voltage. Voltage and current arrows are antiparallel ($\uparrow \downarrow$).

For generators holds: $P_{1} = U_{12} \cdot I_1 \stackrel{!}{>} 0$

The power transfer from the environment to the power system via the generator or the generator arrow system is calculated positively.

Abb. 7: Verbraucherpfeilsystem electrical_engineering_1:verbraucherpfeilsystem.png

Verbraucherpfeilsystem

Bei Verbrauchern wird aus dem Stromkreis Energie entnommen und der Umgebung zur Verfügung gestellt.
Bei Verbrauchern hängen der Pfeilfüße bzw. Pfeilspitzen des Stromes und der Spannung zusammen. Spannungs- und Strompfeil sind parallel ($\uparrow \uparrow$).

Für Verbrauchern gilt:

$P_{3} = U_{34} \cdot I_3 \stackrel{!}{>} 0$

Die Leistungstransfer vom Stromnetz in die Umgebung über den Verbraucher bzw. das Verbraucherpfeilsystem wird auch positiv gerechnet.

Das Zählpfeilsystem

2.3 Knoten, Zweige und Maschen

Erklärung der verschiedenen Netzwerkstrukturen
(Graphen und Bäume werden erst in späteren Kapiteln benötigt)

Ziele

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  1. in einer Schaltung die Knoten, Zweige und Maschen identifizieren können.
  2. eine Schaltung damit übersichtlicher darstellen können.

Abb. 9: Stromkreise und Stromnetze
electrical_engineering_1:stromkreise_stromnetze.png

Abb. 10: Knoten, Zweige und Maschen
electrical_engineering_1:knotenzweigemaschen.png

Elektrische Stromkreise haben typischerweise die Struktur von Netzen. Netze bestehen aus zwei elementaren Strukturelementen:

  1. Zweige/Kanten: Verbindungen zwischen zwei Knoten
  2. Knoten: Verbindungspunkte mehrerer Zweige

Bei elektrischen Schaltkreisen ist zu beachten:

  1. Zweige beinhalten mindestens ein Bauteil.
  2. Knoten verbinden mehr als zwei Zweige und können auch räumlich ausgedehnt sein.

Zweige in elektrischen Netzwerken bezeichnet man als Zweipole. Ihr Verhalten wird durch Strom-Spannungs-Kennlinien beschrieben und im Kapitel non-ideal_sources_and_two_terminal_networks näher erklärt.

Zudem soll noch ein weiterer Begriff erklärt werden:
Eine Masche ist ein geschlossener Weg im Netz. Das heißt eine Masche beginnt und endet am gleichen Knoten und läuft über mindestens einen weiteren Knoten.

Da auch ein Voltmeter als Komponente zwischen zwei Knoten vorhanden sein kann, ist es auch möglich eine Masche über eine Angabe einer Spannung zu schließen (vgl. $U_1$ in Abbildung 10).

Im Gegensatz zu den anderen Ursache-Wirkungs-Beziehungen ändert sich bei den vernetzten Stromkreisen fast immer das gesamte Verhalten, wenn in einem Zweig / an einem Knoten eine Änderung auftritt.
Dies ist vergleichbar mit anderen Änderungen in anderen Netzen, z.B. einem Stau im Straßennetz, aufgrund dessen andere Straßen eine höhere Belastung erfahren. Für die Elektrotechnik bedeutet dies, dass bei sich ändernde Schaltungen eine Ermittlung der Zusammenhänge (Formeln, Strom-Spannungs-Kennlinien) häufig im Vordergrund steht und nicht ein einzelner Zahlenwert.

Vereinfachungen

Abb. 11: Beispiel zur Umwandlung einer Schaltung

Mit der Kenntnis von Knoten, Zweigen und Maschen lassen sich Schaltungen vereinfachen. Schaltungen lassen sich beliebig umformen, solange nach der Umformung alle Zweige an den gleichen Knoten bleiben Die Abbildung 11 zeigt wie eine solche Umformung möglich ist.

Bei praktischen Aufgaben kann ein wiederholtes Ausprobieren sinnvoll sein. Wichtig dabei ist eine nachträgliche Kontrolle, dass an jedem Knoten die selben Komponenten wie vor der Umwandlung angeschlossen sind.

Weitere Beispiele sind in folgendem Video zu finden

Aufgabe 2.3.1 Zweige und Knoten

Abb. 12: Zweige und Knoten electrical_engineering_1:zweigeundknoten.png

Geben Sie für die Markierungen in den Schaltkreisen in Abbildung 12 an, ob es sich um einen Zweig, einen Knoten oder weder noch handelt.

Aufgabe 2.3.2 Vereinfachungen von Schaltungen

Abb. 13: Zweige und Knoten electrical_engineering_1:schaltungenvereinfachen.png

Vereinfachen Sie die Schaltungen in Abbildung 13.

2.4 Kirchhoffsche Gleichungen

Darstellung und Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze

Ziele

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  1. die Kirchhoffschen Gleichungen bzw. Knoten- und Maschensatz kennen und anwenden können.

Der Knotensatz (1. Kirchhoffsche Gleichung)

Der Knotensatz formuliert in der Sprache der Mathematik die Erfahrung, dass sich in elektrischen Leitern keine Ladungs„anhäufungen“ auftreten. Dies ist von besonderer Relevanz an einem Netzknoten (Abbildung 14). Zur Formulierung der Gleichung werden bei diesem Netzknoten die Bezugspfeile der Ströme alle in gleicher Weise festgelegt. Das heißt: alle zeigen vom Knoten weg oder auf ihn zu.

Merke:

Abb. 14: Knotensatz electrical_engineering_1:knotensatz.png

Die Summe aller Ströme, welche aus den Knoten zulaufen, muss Null sein.

$\boxed{I_1 + I_2 + I_3 + ... + I_n = \sum_{x=1}^{n} I_x=0}$

Es gilt von nun an folgende Festlegung:

  • Ströme, deren Strompfeile auf den Knoten hin zeigen, werden in der Rechnung addiert.
  • Ströme, deren Strompfeile vom Knoten weg zeigen, werden in der Rechnung subtrahiert.

Abb. 15: Parallelschaltung electrical_engineering_1:parallelschaltung.png

Parallelschaltung von Widerständen

Aus dem Knotensatz lässt sich der Gesamtwiderstand für parallel geschaltete Widerstände herleiten (Abbildung 15):

Da an allen Widerständen die gleiche Spannung $U_{ab}$ abfällt, gilt mit dem Maschensatz:

$\large{{U_{ab}}\over{R_1}}+ {{U_{ab}}\over{R_2}}+ ... + {{U_{ab}}\over{R_n}}= {{U_{ab}}\over{R_{ersatz}}}$

$\rightarrow \large{{{1}\over{R_1}}+ {{1}\over{R_2}}+ ... + {{1}\over{R_n}}= {{1}\over{R_{ersatz}}} = \sum_{x=1}^{n} {{1}\over{R_x}}}$

Bei parallel geschalteten Widerständen ergibt sich also der Leitwert $G_{ersatz}$ als Summe der Einzelleitwerte: $G_{ersatz} = \sum_{x=1}^{n} {G_x}$

Allgemein gilt: Der Ersatzwiderstand einer Parallelschaltung ist stets kleiner als der kleinste Widerstand.

Speziell für zwei parallele Widerstände $R_1$ und $R_2$ gilt: $R_{ersatz}= \large{{R_1 \cdot R_2}\over{R_1 + R_2}}$

Stromteiler

Herleitung des Stromteilers mit weiteren Betrachtungen

Aus dem Knotensatz lässt sich auch die Stromteiler-Regel herleiten.
Diese besagt, dass sich bei parallel geschalteten Widerständen $R_1, ... R_n$ deren Ströme $I_1, ... I_n$ sich gerade so verhalten wie die Leitwerte $G_1, ... G_n$ durch welche sie fließen.

$\large{{I_1}\over{I_g}} = {{G_1}\over{G_g}}$

$\large{{I_1}\over{I_2}} = {{G_1}\over{G_2}}$

Aufgabe 2.4.1 Stromteiler

Abb. 16: Stromteiler

In der Simulation in Abbildung 16 ist ein Stromteiler zu sehen. Die Ströme verhalten sich dort gerade umgekehrt proportional zu den durchflossenen Widerständen.

  1. Welche Ströme erwarten Sie in den einzelnen Zweigen, wenn die Eingangsspannung von $5V$ auf $3,3V$ gesenkt würde? Nachdem Sie Ihr Ergebnis überlegt hatten, können Sie durch Bewegen des Sliders Spannung (unten rechts neben der Simulation) entsprechend einstellen.
  2. Überlegen Sie sich was passiert wenn Sie den Schalter umlegen würden, bevor Sie den Schalter umlegen.
    Wie lässt sich, nachdem Sie den Schalter umgelegt haben, der Strom in dem Zweig erklären?

Aufgabe 2.4.2 zwei Widerstände

Zwei Widerstände von $18\Omega$ und $2 \Omega$ sind parallel geschalten. Der Gesamtstrom die Widerstände liegt bei $3A$.
Berechnen Sie den Gesamtwiderstand und die Stromaufteilung.


Der Maschensatz (2. Kirchhoffsche Gleichung)

Auch der Maschensatz beschreibt in in der mathematischen Sprache eine praktischer Erfahrung: Zwischen zwei Punkten $a$ und $b$ eines Netzwerks ergibt sich nur eine Potentialdifferenz. Die Potentialdifferenz ist damit insbesondere unabhängig davon auf welchem Weg ein Netzwerk zwischen den zwei Punkten $1$ und $2$ durchlaufen wird. Dies lässt sich durch die Betrachtung von Maschen beschreiben.

Merke:

Abb. 17: Maschensatz electrical_engineering_1:maschensatz.png

In jeder beliebigen Masche eines elektrischen Netzwerks ist die Summe aller Spannungen gleich null (Abbildung 17):

$\boxed{U_{1} + U_{2} + ... + U_{n} = \sum_{x=1}^{n} U_x = 0}$

Zur Berechnung muss ein Umlaufsinn festgelegt werden. Diese kann zunächst beliebig gewählt werden. Es gilt dann aber folgende Festlegung:

  • Spannungen, deren Spannungspfeile im Umlaufsinn zeigen, werden in der Rechnung addiert.
  • Spannungen, deren Spannungspfeile gegen Umlaufsinn zeigen, werden in der Rechnung subtrahiert.

Beweis des Maschensatzes

Drückt man die Spannungen in Abbildung 17 durch die Potentiale in den Knotenpunkten aus, so ergibt sich:

$U_{12}= \varphi_1 - \varphi_2 $
$U_{23}= \varphi_2 - \varphi_3 $
$U_{34}= \varphi_3 - \varphi_4 $
$U_{41}= \varphi_4 - \varphi_1 $

Werden diese Spannungen in die Maschengleichung eingesetzt, so wird

$U_{12}+U_{23}+U_{34}+U_{41} = 0$

Reihenschaltung von Widerständen

Abb. 18: Reihenschaltung electrical_engineering_1:reihenschaltung.png

Über den Maschensatz lässt sich der Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung (<imref BildNr13>) leicht ermitteln:

$U_1 + U_2 + ... + U_n = U_g$

$R_1 \cdot I_1 + R_2 \cdot I_2 + ... + R_n \cdot I_n = R_{ersatz} \cdot I $

Da bei der Reihenschaltung der Strom durch alle Widerstände gleich sein muss - also $I_1 = I_2 = ... = I$ - ergibt sich:

$R_1 + R_2 + ... + R_n = R_{ersatz} = \sum_{x=1}^{n} R_x $

Allgemein gilt: Der Ersatzwiderstand einer Reihenschaltung ist stets größer als der größte Widerstand.

Aufgabe 2.4.3 drei Widerstände

Gegeben sind drei gleiche Widerstände mit je $20k\Omega$.
Welche Werte sind durch beliebige Verschaltung von einem bis drei Widerstände realisierbar?

2.5 unbelasteter und belasteter Spannungsteiler

Der unbelastete Spannungsteiler

Herleitung des unbelasteten Spannungsteilers

Ziele

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  1. den belasteten und unbelasteten Spannungsteiler auseinanderhalten können.
  2. die Unterschiede zwischen belasteten und unbelasteten Spannungsteiler beschreiben können.

Abb. 21: unbelasteter Spannungsteiler electrical_engineering_1:unbelasteterspannungsteiler.png

Speziell die Hintereinanderschaltung von zwei Widerständen $R_1$ und $R_2$ soll nun näher betrachtet werden. Diese Situation tritt in vielen praktischen Anwendungen auf (z.B. Potentiometer). In Abbildung 21 ist diese Schaltung dargestellt.

Über die Maschengleichung ergibt sich

$\boxed{ {{U_1}\over{U}} = {{R_1}\over{R_1 + R_2}} }$

Das Verhältnis $k={{R_1}\over{R_1 + R_2}}$ entspricht auch der Position an einem Potentiometer.

Aufgabe 2.5.1 unbelasteter Spannungsteiler

Abb. 22: unbelasteter Spannungsteiler

In der Simulation in Abbildung 22 ist ein unbelasteter Spannungsteiler in Form eines Potentiometers zu sehen. Die ideale Spannungsquelle stellt $5V$ bereit. Das Potentiometer hat einen Gesamtwiderstand von $1K\Omega$. In der dargestellten Konfiguration ist dieser auf $500 \Omega$ und $500 \Omega$ ausgeteilt.

  1. Welche Spannung U_out erwarten Sie, wenn der Schalter geschlossen würde? Nachdem Sie Ihr Ergebnis überlegt hatten, können Sie dieses durch Schließen das Schalters überprüfen.
  2. Überlegen Sie sich zunächst was passiert wenn Sie durch Verschieben des Schleifers („Zwischenabgriff“) die Aufteilung der Widerstände verändern würden?
    Durch den Slider unten rechts neben der Simulation lässt sich Ihre Vermutung überprüfen.
  3. Bei welcher Stellung erhalten Sie ein U_out von $3,5V$?

Der belastete Spannungsteiler

Abb. 23: belasteter Spannungsteiler electrical_engineering_1:belasteterspannungsteiler.png

Wird - im Gegensatz zum obigen, unbelasteten Spannungsteiler - an den Ausgangsklemmen eine Last $R_L$ angeschlossen (Abbildung 23), so beeinflusst diese die Ausgangsspannung.

Durch eine Schaltungsanalyse ergibt sich:

$ U_1 = \LARGE{{{U} \over {1 + {{R_2}\over{R_L}} + {{R_2}\over{R_1}} }} }$

bzw. an einem Potentiometer mit $k$ und $R_s = R_1 + R_2$:

$ U_1 = \LARGE{{{k \cdot U} \over { 1 + k \cdot (1-k) \cdot{{R_s}\over{R_L}} }} }$

Abb. 24: Spannungsverlauf des belasteten Spannungsteiler electrical_engineering_1:spannungsverlaufbelasteterspannungsteiler.png

Abbildung 24 zeigt in welchem Verhältnis die ausgegebene Spannung $U_1$ zur eingehenden Spannung $U$ steht (y-Achse), in Bezug zum Verhältnis $k={{R_1}\over{R_1 + R_2}}$. Prinzipiell gleicht dies der Abbildung 21, hat aber hier noch eine weitere Dimension: Es sind mehrere Graphen eingezeichnet. Diese unterscheiden sich um das Verhältnis ${{R_s}\over{R_L}}$.

Was sagt dieses Diagramm nun aus? Dies soll an einem Beispiel gezeigt werden. Zunächst wird angenommen, dass ein unbelasteter Spannungsteiler mit $R_2 = 4 k\Omega$ und $R_1 = 6 k\Omega$, sowie eine Eingangsspannung von $10V$ vorliegt. Damit ist $k = 0,6$, $R_s = 10k\Omega$ und $U_1 = 6V$.
Nun wird dieser Spannungsteiler mit einem Lastwiderstand belastet. Liegt dieser bei $R_L = R_1 = 10 k\Omega$, so reduziert sich $k$ auf etwa $0,48$ und $U_1$ auf $4,8V$ - die Ausgangsspannung bricht also ein. Bei $R_L = 4k\Omega$ wird $k$ noch kleiner zu $k=0,375$ und $U_1 = 3,75V$. Ist die Last $R_L$ nur noch ein Zehntel des Widerstandes $R_s=R_1 + R_2$, so wird $k=0,18$ und $U_1=1,8V$. Aus der Ausgangspannung des unbelasteten Spannungsteilers ($6V$) wurde damit weniger als ein Drittel.

Aufgabe 2.5.2 belasteter Spannungsteiler

Ermitteln Sie aus der Schaltung in Abbildung 23 die obige Gleichung $ U_1 = {{k \cdot U} \over { 1 + k \cdot (1-k) \cdot{{R_s}\over{R_L}}}}$ mit $k={{R_1}\over{R_1 + R_2}}$ und $R_s = R_1 + R_2$.

Aufgabe 2.5.3 belasteter Spannungsteiler

Abb. 25: belasteter Spannungsteiler

In der Simulation in Abbildung 25 ist ein belasteter Spannungsteiler in Form eines Potentiometers zu sehen. Die ideale Spannungsquelle stellt $5V$ bereit. Das Potentiometer hat einen Gesamtwiderstand von $1K\Omega$. In der dargestellten Konfiguration ist dieser auf $500 \Omega$ und $500 \Omega$ ausgeteilt. Der Lastwiderstand hat eine Größe von $R_L = 1 k\Omega$.

  1. Welche Spannung U_OUT erwarten Sie, wenn der Schalter geschlossen würde? Hier müssen Sie etwas rechnen! Nachdem Sie Ihr Ergebnis berechnet hatten, können Sie dieses durch Schließen das Schalters überprüfen.
  2. Bei welcher Aufteilung erhalten Sie $3,5V$. Ermitteln Sie das Ergebnis zunächst zur eine Rechnung.
    Überprüfen sie es anschließend durch Verschieben des Slider unten rechts neben der Simulation.

Aufgabe 2.5.4 Anwendung des belasteten Spannungsteilers - Motor

Abb. 26: Skizze des Aufbaus
electrical_engineering_1:motoramspannungsteiler.png

Sie wollten einen Kleinstmotor für einen kleinen Roboter testen. Anhand des Maximalstroms und des Innenwiderstands ($R_M = 5\Omega$) errechnen Sie, dass dieser mit maximal $U_{M,max}=4V$ betrieben werden kann. Ein Kollege meinte, dass Sie $4V$ über den Aufbau in Abbildung 26 aus einer $9V$-Block Batterie erhalten können.

  1. Berechnen Sie zunächst den Maximalstrom $I_{M,max}$ des Motors.
  2. Zeichnen Sie die entsprechende elektrische Schaltung mit angeschlossenem Motor als ohmschen Widerstand.
  3. Beim Maximalstrom soll der Motor ein Drehmoment von $M= 100mNm$ abgeben können. Welches Drehmoment würde der Motor abgeben, wenn Sie den Aufbau so umsetzen? (Annahme: Das Drehmoment des Motors steigt proportional zum Motorstrom).
  4. Wie könnte ein Aufbau mit Potentiometer aussehen, mit dem man tatsächlich eine Spannung zwischen $0,5V$ bis $4V$ am Motor einstellen kann? Welchen Widerstandswert muss das Potentiometer haben?
  5. Bauen Sie Ihre Schaltung in untenstehender Simulation auf und testen Sie diese. Eine Einführung zur Online-Simulation finden Sie unter: Online Circuit Simulator.
    Für diesen Aufbau benötigen Sie im wesentlichen folgende Tipps:
    1. Das Verlegen von Verbindungen lässt sich über das Menü Zeichnen » Verbindung einfügen (wire) aktivieren. Anschließend muss auf den Startpunkt geklickt und anschließend bis zum Endpunkt gezogen werden.
    2. Beachten Sie, dass Verbindungen immer nur an Verbindungspunkten angeschlossen werden können. Der rot markierte Knoten am $5 \Omega$-Widerstand zeigt an, dass dieser nicht verbunden ist. Dieser könnte im ein Rasterschritt nach links verschoben werden, da dort ein Verbindungspunkt liegt.
    3. Mit Druck auf die <ESC> Taste lässt sich das Einfügen von Komponenten deaktivieren.
    4. Mit Rechtsklick auf eine Komponente lässt sich diese kopieren oder Werte wie der Widerstand über Bearbeiten… ändern.

Abb. 27: Simulation für Motoraufbau

Aufgabe 2.5.5 Beispiele der Berechnung von belasteten Spannungsteilern

Spannungsteiler, Vorwiderstand (Längswiderstand) und Nebenwiderstand

Übung zum Spannungsteiler

Aufgabe 2.5.6 Beispiel eines belasteten Spannungsteiler: Erklärung ohne Rechnung

2.6 Stern-Dreieck-Schaltung

Abb. 28: Beispiel für einen Stromkreis electrical_engineering_1:beispielstromkreis.png

Abb. 29: Umwandlung Parallelschaltung in Reihenschaltung

Ziele

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  1. dreieckige Maschen in eine Sternform (und umgekehrt) umwandeln können

Zu Beginn des Kapitels wurde ein Beispiel eines Netzwerks gezeigt (Abbildung 1). Dabei kommt man aber mit dem Knoten- und Maschensatz nicht unmittelbar zur Lösung. Jedoch ist nach sichtbar, dass dort viele dreieckförmige Maschen bzw. sternförmige Knoten vorhanden sind (Abbildung 28). Auf diese soll nun tiefer eingegangen werden.

Dazu zunächst ein Resume aus den bisherigen Erkenntnissen. Über den Knoten- und Maschensatz wurde klar, dass sowohl aus einer Reihen-, als auch aus einer Parallelschaltung ein Ersatzwiderstand ermittelt werden kann. Betrachtet man den Ersatzwiderstand als eine Blackbox - d.h. der innere Ausbau ist unbekannt - so könnte dieser also durch beide Schaltungsarten interpretiert werden (Abbildung 29).

Wie hilft uns das nun im Falle einer dreieckförmigen Masche?

Auch in für diesen Fall kann man eine Blackbox bereitstellen. Diese müsste sich aber immer gleich verhalten, wie die dreieckförmige Masche, also beliebige, angelegte Spannungen sollten gleiche Ströme erzeugen.
Anders gesagt: Die zwischen zwei Klemmen messbaren Widerständen müssen für beide Schaltungen identisch sein.

Dazu sollen nun die verschiedenen Widerstände zwischen den einzelnen Knoten $a$, $b$ und $c$ betrachtet werden, siehe Abbildung 30. Es soll herausgefunden werden wie aus einer Stern-Schaltung eine Dreieck-Schaltung entwickelt werden kann (und umgekehrt).

Abb. 30: Stern-Dreieck-Transformation


Berechung der Umformungsformeln: Sternschaltung in Dreiecksschaltung

Dreieckschaltung

Bei der Dreieckschaltung sind die 3 Widerstände $R_{ab}^1$, $R_{bc}^1$ und $R_{ca}^1$ in einer Masche verschalten.

Für die Widerstände zwischen den zwei Anschlüssen (z.B. $a$ und $b$) wird die dritte ($c$) als nicht angeschlossen betrachtet. Damit ergibt sich eine Parallelschaltung des direkten Sternwiderstands $R_{ab}^1$ mit der Reihenschaltung der anderen beiden Sternwiderstände $R_{ca}^1 + R_{bc}^1$:

$R_{ab} = R_{ab}^1 || (R_{ca}^1 + R_{bc}^1) $
$R_{ab} = {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}} = {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} $

Gleiches gilt für die anderen Anschlüssen. Damit ergibt sich:

\begin{align*} R_{ab} = {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \\ R_{bc} = {{R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \\ R_{ca} = {{R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \tag{2.6.1} \end{align*}

Sternschaltung

Die Widerstände zwischen den Anschlüssen müssen nun denen bei der Sternschaltung gleichen. Auch bei der Sternschaltung sind 3 Widerstände verschalten, diese aber in Sternform. Die Sternwiderstände sind also alle mit einem weiteren Knoten $0$ in der Mitte verbunden: $R_{a0}^1$, $R_{b0}^1$ und $R_{c0}^1$

Auch hier wird vorgegangen wie bei der Dreieckschaltung: der Widerstand zwischen zwei Anschlüssen (z.B. $a$ und $b$) wird ermittelt, der weitere Anschluss ($c$) wird als offen betrachtet. Der Widerstand des weiteren Anschlusses ($R_{c0}^1$) ist nur an einer Seite angeschlossen. Dadurch fließt durch diesen kein Strom - er ist damit nicht zu berücksichtigen. Es ergibt sich:

\begin{align*} R_{ab} = R_{a0}^1 + R_{b0}^1 \\ R_{bc} = R_{b0}^1 + R_{c0}^1 \\ R_{ca} = R_{c0}^1 + R_{a0}^1 \tag{2.6.2} \end{align*}

Aus den Gleichungen $(2.6.1)$ und $(2.6.2)$ erhält man:

\begin{align} R_{ab} = {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} = R_{a0}^1 + R_{b0}^1 \tag{2.6.3} \end{align} \begin{align} R_{bc} = {{R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} = R_{b0}^1 + R_{c0}^1 \tag{2.6.4} \end{align} \begin{align} R_{ca} = {{R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} = R_{c0}^1 + R_{a0}^1 \tag{2.6.5} \end{align}

Die Gleichungen $(2.6.3)$ bis $(2.6.5)$ lassen sich nun so geschickt zusammenfassen, dass auf einer Seite nur noch ein Widerstand steht.
Eine Variante ist die Formeln als ${{1}\over{2}} \cdot \left( (2.6.3) + (2.6.4) - (2.6.5) \right)$ bzw. ${{1}\over{2}} \cdot \left(R_{ab} + R_{bc} - R_{ca}\right)$ zu kombinieren. Damit ergibt sich $R_{b0}^1$

\begin{align*} {{1}\over{2}} \cdot \left( {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} + {{R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} - {{R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &= {{1}\over{2}} \cdot \left( R_{a0}^1 + R_{b0}^1 + R_{b0}^1 + R_{c0}^1 - R_{c0}^1 - R_{a0}^1 \right) \\ {{1}\over{2}} \cdot \left( {{R_{ab}^1 \cdot (R_{ca}^1 + R_{bc}^1)} + {R_{bc}^1 \cdot (R_{ab}^1 + R_{ca}^1)} - {R_{ca}^1 \cdot (R_{bc}^1 + R_{ab}^1)}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &= {{1}\over{2}} \cdot \left( 2 \cdot R_{b0}^1 \right) \\ {{1}\over{2}} \cdot \left( {{R_{ab}^1 R_{ca}^1 + R_{ab}^1 R_{bc}^1 + R_{bc}^1 R_{ab}^1 + R_{bc}^1 R_{ca}^1 - R_{ca}^1 R_{bc}^1 - R_{ca}^1 R_{ab}^1}\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &= R_{b0}^1 \\ {{1}\over{2}} \cdot \left( {{ 2 \cdot R_{ab}^1 R_{bc}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \right) &= R_{b0}^1 \\ {{ R_{ab}^1 R_{bc}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} &= R_{b0}^1 \\ \end{align*}

Auf ähnlichem Weg kann man nach $R_{a0}^1$ und $R_{c0}^1$, sowie mit etwas abgewandeltem Ansatz auch auf $R_{ab}^1$, $R_{bc}^1$ und $R_{ca}^1$ auflösen.

Stern-Dreieck-Transformation

Merke:

Soll von einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung umgewandelt werden, so sind die Sternwiderstände ermittelbar über:

\begin{align*} \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Sternwiderstand} \\ \text{an Anschluss x} \end{array} }}} &= {{ \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Produkt der} \\ \text{am Anschluss x liegenden} \\ \text{Dreieckwiderstände} \end{array} }}} } \over { \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Summe aller} \\ \text{Dreieckwiderstände} \end{array} }}}}} \\ \\ \text{also:}\quad\quad\quad\quad\quad\quad R_{a0}^1 &= {{ R_{ca}^1 \cdot R_{ab}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \\ R_{b0}^1 &= {{ R_{ab}^1 \cdot R_{bc}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \\ R_{c0}^1 &= {{ R_{bc}^1 \cdot R_{ca}^1 }\over{R_{ab}^1 + R_{ca}^1 + R_{bc}^1}} \end{align*}

Soll von einer Sternschaltung in eine Dreieckschaltung umgewandelt werden, so sind die Dreieckwiderstände ermittelbar über:

\begin{align*} \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Dreieckwiderstand} \\ \text{zwischen den} \\ \text{Anschlüssen x und y } \end{array} }}} &= {{ \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Summe aller Produkte} \\ \text{zwischen zwei} \\ \text{unterschiedlichen Sternwiderständen} \end{array} }}} } \over { \color{lightgray}{\boxed{ \color{black}{\begin{array}{} \text{Sternwiderstand} \\ \text{gegenüber von x und y} \end{array} }}}}} \\ \\ \text{also:}\quad\quad\quad\quad\quad\quad R_{ab}^1 &= {{ R_{a0}^1 \cdot R_{b0}^1 +R_{b0}^1 \cdot R_{c0}^1 +R_{c0}^1 \cdot R_{a0}^1 }\over{ R_{c0}^1}} \\ R_{bc}^1 &= {{ R_{a0}^1 \cdot R_{b0}^1 +R_{b0}^1 \cdot R_{c0}^1 +R_{c0}^1 \cdot R_{a0}^1 }\over{ R_{a0}^1}} \\ R_{ca}^1 &= {{ R_{a0}^1 \cdot R_{b0}^1 +R_{b0}^1 \cdot R_{c0}^1 +R_{c0}^1 \cdot R_{a0}^1 }\over{ R_{b0}^1}} \end{align*}

Aufgabe 2.6.1 Anwendung der Dreieck-Stern-Umwandlung

Aufgabe 2.6.2 schwierigere Aufgabe mit Stern-Dreieck-Umwandlung

2.7 Gruppenschaltung von Widerständen

Ziele

Nach dieser Lektion sollten Sie:

  1. Schaltungen, welche nur aus Widerständen bestehen, vereinfachen können.
  2. die Spannungen und Ströme in Schaltungen mit einer Spannungsquelle und mehreren Widerständen berechnen können.
  3. symmetrische Schaltungen vereinfachen können.

In diesem Unterkapitel wird auf eine Methodik eingegangen, welche beim Umformen von Schaltungen helfen soll. In Unterkapitel 2.6 Stern-Dreieck-Schaltung wurde gegen Ende bereits ein Netzwerk so umgeformt, dass es keine dreieckigen Maschen mehr enthält. Nun soll dieses Vorgehen systematisiert werden. Ausgangspunkt sind Aufgaben, bei denen für ein Widerstandsnetzwerk der Gesamtwiderstand, Gesamtstrom oder die Gesamtspannung berechnet werden muss.

einfaches Beispiel

Abb. ##: Beispiel für einen Stromkreis electrical_engineering_1:beispielstromkreis2.png

Ein Beispiel für eine solche Schaltung ist in Abbildung ## gegeben. Hier ist $I_0$ gesucht. Dieser Strom kann über die (gegebene) Spannung $U_0$ und den Gesamtwiderstand zwischen den Klemmen $a$ und $b$ ermittelt werden. Gesucht ist also $R_{ab}$.

Wie bereits in den vorherigen Unterkapitel beschrieben, können hier auch Teilschaltung schrittweise in Ersatzwiderstände umgewandelt werden. Wichtig dabei ist, dass diese Teilschaltungen zur Umwandlung in Ersatzwiderstände immer nur zwei Anschlüsse (= zwei Knoten zur „Außenwelt“) haben dürfen.

Abb. ##: Schrittweise Lösung des Beispiels electrical_engineering_1:beispielstromkreis2loesung.png

Abbildung ## zeigt die schrittweise Umwandlung der Ersatzwiderstände an diesem Beispiel.
Als Ergebnis des Ersatzwiderstands erhält man:

\begin{align*} R_g = R_{12345} &= R_{12}||R_{345} = R_{12}||(R_3+R_{45}) = (R_1||R_2)||(R_3+R_4||R_5) \\ &= {{ {{R_1 \cdot R_2}\over{R_1 + R_2}} \cdot (R_3 + {{R_4 \cdot R_5}\over{R_4 + R_5}}) }\over{ {{R_1 \cdot R_2}\over{R_1 + R_2}} +R_3 + {{R_4 \cdot R_5}\over{R_4 + R_5}} }} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \bigg\rvert \cdot{{(R_1 + R_2) \cdot (R_4 + R_5)}\over{(R_1 + R_2) \cdot (R_4 + R_5)}} \\ &= {{ R_1 \cdot R_2 \cdot (R_3 + {{R_4 \cdot R_5}\over{R_4 + R_5}}) \cdot (R_4 + R_5) } \over { R_1 \cdot R_2\cdot(R_4 + R_5) +R_3 + R_4 \cdot R_5 \cdot (R_1 + R_2)}} \\ &= {{ R_1 \cdot R_2 \cdot (R_3 \cdot (R_4 + R_5) + R_4 \cdot R_5) } \over { R_1 \cdot R_2\cdot(R_4 + R_5) +R_3 + R_4 \cdot R_5 \cdot (R_1 + R_2)}} \\ \end{align*}

Beispiel mit Dreieck-Stern-Transformation

Mit der Dreieck-Stern-Transformation lässt sich nun auch das anfängliche Beispiel umwandeln. Bei komplizierteren Schaltungen ist die wiederholte Dreieck-Stern-Transformation mit anschließendem Zusammenfassen der Widerstände sinnvoll, solange bis die entstandene Schaltung leicht mit Knoten- und Maschensatz berechenbar wird (Abbildung ##). Hier wird auf eine Rechnung verzichtet - es empfiehlt sich hier mit Zwischenergebnissen für die transformierten Widerständen zu rechnen.

Abb. ##: Umwandlung des Beispiel-Stromkreises electrical_engineering_1:beispielstromkreisumgewandelt.png

Beispiel mit Symmetrien in der Schaltung

Ein gewisser Sonderfall betrifft mögliche Symmetrien in Schaltungen. Falls dies3 vorhanden sind, kann eine weitere Vereinfachung vorgenommen werden.

Abb. ##: Beispiel mit Symmetrien in der Schaltung

Abbildung ## zeigt links ein symmetrischen Aufbau eines Netzwerks aus jeweils gleichen Widerständen $R$. Zum Verständnisgewinn ist in der Mitte in der gleichen Schaltung zusätzlich Schalter und Testpunkte (TP) verbaut, welche die Spannung gegen Masse anzeigen.

Über die Schalter kann nachgeprüft werden, ob ein Strom fließt, falls die jeweiligen Knoten verbunden werden. In der Simulation ist zu sehen, dass dies nicht der Fall ist. Im symmetrischen Aufbau sind diese Knoten jeweils auf dem gleichen Potential.

Damit lässt sich die Schaltung auch in die Form bringen, wie sie in Abbildung ## rechts zu sehen ist. Diese Schaltung ist wiederum leicht berechenbar:

\begin{align*} R_g = R || R + R || R || R || R + R || R || R || R + R || R = {{1}\over{2}}\cdot R + {{1}\over{4}}\cdot R + {{1}\over{4}}\cdot R + {{1}\over{2}}\cdot R = 1,5\cdot R \end{align*}

Aufgabe 2.7.1 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung I

Aufgabe 2.7.2 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung II + III

Aufgabe 2.7.3 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung IV

Aufgabe 2.7.4 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung IV

Aufgabe 2.7.5 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung V

Aufgabe 2.7.6 Aufgabe zur Schaltungsvereinfachung VI

Exercise 2.7.7 Simplifying Circuits (exam task, about 8% of a 60-minute exam, WS2020)

schaltung_klws2020_2_1_1.jpg

Given is the adjoining circuit with
$R_1=10 ~\Omega$
$R_2=20 ~\Omega$
$R_3=5 ~\Omega$
and the switch $S$.

1. Determine the total resistance $R_{\rm eq}$ between A and B by summing the resistances with the switch $S$ open.

Tips for solving

  • How can the circuit be better represented or pulled apart?
  • The switch should be replaced by an open wire in this case.

Solution

First of all, it is a good idea to reshape the circuit so that the actual structure becomes visible.
For this purpose, the individual branches can be highlighted in color and interpreted as a „conductive rubber band“.
This results in:

schaltung_klws2020_2_1_1_loesung1.jpg schaltung_klws2020_2_1_1_loesung2.jpg

Thus $R_3$ and $R_3$ can be combined to $R_{33} = 2 \cdot R_3 = R_1$, yielding a left and a right voltage divider.
Now it is visible that in the left and right voltage divider, the same potential is at the respective branch, or at the node K1 (green) and K2 (pink).

Thus, the total resistance can be calculated as $R_{\rm eq} = (2 \cdot R_1)||(2 \cdot R_1)$.
However, by symmetry, nodes K1 and K2 can also be short-circuited. Thus, $R_{\rm eq} = 2 \cdot \left( R_1||R_1 \right)$ also holds.

Final result

\begin{align*} R_{\rm eq} &= 2 \cdot \left( 10 ~\Omega || 10 ~\Omega \right) = 10 ~\Omega \end{align*}

2. What is the total resistance when switch $S$ is closed?

Final result

Due to symmetry, the potentials at K1 and K2 are equal. Thus, no current flows across resistor $R_2$ even when the switch is closed.
So the resistance remains the same.

Exercise 2.7.8: Simplifying Circuits II (written exam task, approx 8% of a 60-minute written exam, WS2020)

schaltung_klws2020_2_2_1.jpg

Given is the adjoining circuit with
$R_1=5 ~\Omega$
$R_2=10 ~\Omega$
$R_3=20 ~\Omega$

1. Determine the equivalent resistance $R_{\rm eq}$ between A and B by summing the resistances.

Tips for solving

  • How can the circuit be better represented or pulled apart?
  • Switches (when used) should be replaced by an open or closed circuit.
  • Does this result in equal potentials at different nodes that can be cleverly used?

Solution

First of all, it is a good idea to reshape the circuit so that the actual structure becomes visible.
For this purpose, the individual branches can be highlighted in color and interpreted as a „conductive rubber band“.
It can be seen that the two resistors $R_3$ at the top left and bottom right are each shorted. The result is thus:

schaltung_klws2020_2_2_1_loesung1.jpg schaltung_klws2020_2_2_1_loesung2.jpg

Here it helps to consider the potential of the nodes K1, K2, and K3. For K2, the resistances $R_2 || R_3 || R_2$ must be combined at the top and bottom. Thus, the same resistance values at the top and bottom result. Also at the nodes K1 and K2 the same resistance values at the top and at the bottom result. With the same ratios of the resistances at K1, K2, and K3 respectively, it can be concluded that no current flows across the resistors $R_3$ between K1 and K2 or K2 and K3. Thus, these do not contribute to the total resistance. In such a case, a short circuit or an open line can be freely chosen between the relevant nodes for the calculation. In the following, an open line is chosen. Additionally, the parallel strings can be reordered.

Abb. 36: Simulation

This results in:

schaltung_klws2020_2_2_1_loesung3.jpg

\begin{align*} R_{\rm eq} &= \left( \left( 2 \cdot R_2 \right) || \left( 2 \cdot R_2 \right) \right) && || \; \left( \left( 2 \cdot R_3 \right) || \left( 2 \cdot R_3 \right) || \left( 2 \cdot R_3 \right) \right) \\ R_{\rm eq} &= R_2 && || \;\left( R_3 || \left( 2 \cdot R_3 \right) \right) \\ R_{\rm eq} &= R_2 && || \;\frac{R_3 \cdot 2 R_3}{R_3 + 2 R_3} \\ R_{\rm eq} &= R_2 && || \;\frac{2}{3}\cdot R_3 \\ R_{\rm eq} &= \frac{R_2 \cdot \frac{2}{3}\cdot R_3}{R_2 + \frac{2}{3}\cdot R_3} \\ R_{\rm eq} &= \frac{R_2 \cdot R_3}{\frac{3}{2}\cdot R_2 + R_3} \\ \\ \end{align*}

Final result

\begin{align*} R_{\rm eq} &= \frac{10 ~\Omega \cdot 20 ~\Omega}{\frac{3}{2}\cdot 10 ~\Omega + 20 ~\Omega} = 5.7143 ~\Omega \rightarrow 5.7 ~\Omega \end{align*}

2. Now let the voltage from A to B be: $U_{AB}=U_0= 20 ~\rm V$. What is the current $I$?

Solution

The partial current $I$ is obtained directly from the voltage $U_0$: \begin{align*} I &=\frac{U_0}{2 \cdot R_3} \end{align*}

Final result

\begin{align*} I =\frac{20~V}{2 \cdot 20 ~\Omega} = 0.5 ~\rm A \end{align*}

Exercise 2.7.9 - Variation: Simplifying Circuits II (written exam task, approx 8% of a 60-minute written exam, WS2020)

schaltung_klws2020_2_2_2.jpg

Given is the adjoining circuit with
$R_1=10 ~\Omega$
$R_2=20 ~\Omega$
$R_3=5 ~\Omega$

1. Determine the equivalent resistance $R_{\rm eq}$ between A and B by summing the resistances.

Final result

\begin{align*} R_{ges} &= \frac{20 ~\Omega \cdot 5 ~\Omega}{\frac{3}{2}\cdot 20 ~\Omega + 5 ~\Omega} = 2.858 ~\Omega \rightarrow 2.9 ~\Omega \end{align*}

2. Now let the voltage from A to B be: $U_{\rm AB}=U_0= 10 ~\rm V$. What is the current $I$?

Final result

\begin{align*} I =\frac{10~\rm V}{2 \cdot 5 ~\Omega} = 1 ~\rm A \end{align*}

Exercise 2.7.10 - Variation: Simplifying Circuits III (written exam task, approx 8% of a 60-minute written exam, WS2020)

schaltung_klws2020_2_2_3.jpg

Given is the adjoining circuit with
$R_1=5 ~\Omega$
$R_2=20 ~\Omega$
$R_3=10 ~\Omega$

1. Determine the equivalent resistance $R_{\rm eq}$ between A and B by summing the resistances.

2. Now let the voltage from A to B be: $U_{\rm AB}=U_0= 30 ~\rm V$. What is the current $I$?

weitere Aufgaben

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