Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

--- introduction_to_digital_systems:calc_logic_example [2021/09/16 22:58] – angelegt tfischer
+++ introduction_to_digital_systems:calc_logic_example [2021/09/17 00:08] (aktuell) – tfischer
@@ Zeile 1: / Zeile 1: @@
 ~~REVEAL ~~
----->
-example for a simplification with the rule for boolean algebra
-$\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}$
-<----
----->
+---->>
-At first we will switch the representation to the following: \\
+example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\
-$/(a + (b \cdot (/a + c) \cdot 1 ) + a )$
+\begin{align*}
+\begin{array}{ll}
+\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &         \\
+\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
+\end{array}
+\end{align*}
-<----
+<<----
----->
+---->>
-so lets start
+At first we will switch the representation to the following: \\ \\
-<----
----->
+\begin{align*}
-. Put space between the digits \\ $\quad$
+\begin{array}{ll}
+\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &    \color{white}{\overline{ab}}                  \\
+\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
+\end{array}
+\end{align*}
+<<----
+---->>
+At first we will switch the representation to the following: \\ \\
 \begin{align*}
-\begin{smallmatrix}
+\begin{array}{ll}
-\color{black}{\text{numeral}:}        & \color{black}{}                & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8.}      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
+/(a + (b \cdot (/a + c) \cdot 1 ) + a )        &  \color{white}{\overline{ab}}                    \\
-\color{white}{\text{index}:}          & \color{white}{i}               & \color{white}{3}      & \color{white}{2}      & \color{white}{1}      & \color{white}{0 }      & \color{white}{-1}      & \color{white}{-2}      \\
+\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
-\color{white}{\text{place factor}:}   & \color{white}{B^i}             & \color{white}{10^3}   & \color{white}{10^2}   & \color{white}{10^1}   & \color{white}{10^0}    & \color{white}{10^{-1}} & \color{white}{10^{-2}} \\
+\end{array}
-\color{white}{}                       & \color{white}{}                & \color{white}{1000}   & \color{white}{100 }   & \color{white}{10  }   & \color{white}{1   }    & \color{white}{0.1    } & \color{white}{0.01   } \\
-\color{white}{\text{digits  }:}       & \color{white}{z_i}             & \color{white}{2}      & \color{white}{6}      & \color{white}{5}      & \color{white}{8 }      & \color{white}{4}       & \color{white}{7}       \\
-\color{white}{\text{place value}:}    & \color{white}{z_i \cdot B^i}   & \color{white}{2000}   & \color{white}{600}    & \color{white}{50}     & \color{white}{8 }      & \color{white}{0.4}     & \color{white}{0.07}    \\
-\color{white}{\text{result}:}         & \color{white}{\sum_i{ z_i \cdot B^i }} & & & \color{white}{2658.47} \\
-\end{smallmatrix}
 \end{align*}
-<----
+<<----
----->
+---->>
-. Write down the index for each position. \\ $\quad$
+. $\color{blue}{\text{Neutral Element}}$ \\ \\ \\
 \begin{align*}
-\begin{smallmatrix}
+\begin{array}{ll}
-\color{black}{\text{numeral}:}        & \color{black}{}                & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8.}      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
+/(a + (b \cdot (/a + c) \color{blue}{\cdot 1} ) + a )        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
-\color{blue }{\text{index}:}          & \color{blue }{i}               & \color{blue }{3}      & \color{blue }{2}      & \color{blue }{1}      & \color{blue }{0 }      & \color{blue }{-1}      & \color{blue }{-2}      \\
+\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
-\color{white}{\text{place factor}:}   & \color{white}{B^i}             & \color{white}{10^3}   & \color{white}{10^2}   & \color{white}{10^1}   & \color{white}{10^0}    & \color{white}{10^{-1}} & \color{white}{10^{-2}} \\
+\end{array}
-\color{white}{}                       & \color{white}{}                & \color{white}{1000}   & \color{white}{100 }   & \color{white}{10  }   & \color{white}{1   }    & \color{white}{0.1    } & \color{white}{0.01   } \\
-\color{white}{\text{digits  }:}       & \color{white}{z_i}             & \color{white}{2}      & \color{white}{6}      & \color{white}{5}      & \color{white}{8 }      & \color{white}{4}       & \color{white}{7}       \\
-\color{white}{\text{place value}:}    & \color{white}{z_i \cdot B^i}   & \color{white}{2000}   & \color{white}{600}    & \color{white}{50}     & \color{white}{8 }      & \color{white}{0.4}     & \color{white}{0.07}    \\
-\color{white}{\text{result}:}         & \color{white}{\sum_i{ z_i \cdot B^i }} & & & \color{white}{2658.47} \\
-\end{smallmatrix}
 \end{align*}
-<----
+<<----
+---->>
+. $\color{blue}{\text{Neutral Element}}$ \\ \\ \\
----->
+\begin{align*}
-. calculate the place factor \\ $\quad$
+\begin{array}{ll}
+/(a + (b \cdot (/a + c) \quad \; ) + a )        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
+\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
+\end{array}
+\end{align*}
+<<----
+---->>
+. $\color{blue}{\text{Commutative Law}}$ \\ \\ \\
 \begin{align*}
-\begin{smallmatrix}
+\begin{array}{ll}
-\color{black}{\text{numeral}:}        & \color{black}{}                & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8.}      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
+/(a + \color{blue}{(b \cdot (/a + c) \quad \; ) + a })        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
-\color{black}{\text{index}:}          & \color{black}{i}               & \color{black}{3}      & \color{black}{2}      & \color{black}{1}      & \color{black}{0 }      & \color{black}{-1}      & \color{black}{-2}      \\
+\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
-\color{blue }{\text{place factor}:}   & \color{blue }{B^i}             & \color{blue }{10^3}   & \color{blue }{10^2}   & \color{blue }{10^1}   & \color{blue }{10^0}    & \color{blue }{10^{-1}} & \color{blue }{10^{-2}} \\
+\end{array}
-\color{white}{}                       & \color{white}{}                & \color{white}{1000}   & \color{white}{100 }   & \color{white}{10  }   & \color{white}{1   }    & \color{white}{0.1    } & \color{white}{0.01   } \\
-\color{white}{\text{digits  }:}       & \color{white}{z_i}             & \color{white}{2}      & \color{white}{6}      & \color{white}{5}      & \color{white}{8 }      & \color{white}{4}       & \color{white}{7}       \\
-\color{white}{\text{place value}:}    & \color{white}{z_i \cdot B^i}   & \color{white}{2000}   & \color{white}{600}    & \color{white}{50}     & \color{white}{8 }      & \color{white}{0.4}     & \color{white}{0.07}    \\
-\color{white}{\text{result}:}         & \color{white}{\sum_i{ z_i \cdot B^i }} & & & \color{white}{2658.47} \\
-\end{smallmatrix}
 \end{align*}
-<----
+<<----
+---->>
+. $\color{blue}{\text{Commutative Law}}$ \\ \\ \\
----->
+\begin{align*}
-. calculate the place factor \\ (= ..., thousands, hundreds, tens, ones, tenths, ...)
+\begin{array}{ll}
+/(a + a + (b \cdot (/a + c) \quad \; ))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
+\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
+\end{array}
+\end{align*}
+<<----
+---->>
+. $\color{blue}{\text{Idempotence}}$ \\ \\ \\
 \begin{align*}
-\begin{smallmatrix}
+\begin{array}{ll}
-\color{black}{\text{numeral}:}        & \color{black}{}                & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8.}      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
+/(\color{blue}{a + a} + (b \cdot (/a + c)\quad \;))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
-\color{black}{\text{index}:}          & \color{black}{i}               & \color{black}{3}      & \color{black}{2}      & \color{black}{1}      & \color{black}{0 }      & \color{black}{-1}      & \color{black}{-2}      \\
+\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
-\color{blue }{\text{place factor}:}   & \color{blue }{B^i}             & \color{blue }{10^3}   & \color{blue }{10^2}   & \color{blue }{10^1}   & \color{blue }{10^0}    & \color{blue }{10^{-1}} & \color{blue }{10^{-2}} \\
+\end{array}
-\color{blue }{}                       & \color{blue }{}                & \color{blue }{1000}   & \color{blue }{100 }   & \color{blue }{10  }   & \color{blue }{1   }    & \color{blue }{0.1    } & \color{blue }{0.01   } \\
-\color{white}{\text{digits  }:}       & \color{white}{z_i}             & \color{white}{2}      & \color{white}{6}      & \color{white}{5}      & \color{white}{8 }      & \color{white}{4}       & \color{white}{7}       \\
-\color{white}{\text{place value}:}    & \color{white}{z_i \cdot B^i}   & \color{white}{2000}   & \color{white}{600}    & \color{white}{50}     & \color{white}{8 }      & \color{white}{0.4}     & \color{white}{0.07}    \\
-\color{white}{\text{result}:}         & \color{white}{\sum_i{ z_i \cdot B^i }} & & & \color{white}{2658.47} \\
-\end{smallmatrix}
 \end{align*}
-<----
+<<----
+---->>
+. $\color{blue}{\text{Idempotence}}$ \\ \\ \\
----->
+\begin{align*}
-. write down each digit of the numeral  \\ $\quad$
+\begin{array}{ll}
+/(a \quad \enspace \: + (b \cdot (/a + c)\quad \;))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
+\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
+\end{array}
+\end{align*}
+<<----
+---->>
+. $\color{blue}{\text{Distributive Law}}$ \\ \\ \\
 \begin{align*}
-\begin{smallmatrix}
+\begin{array}{ll}
-\color{black}{\text{numeral}:}        & \color{black}{}                & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8.}      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
+/(a \quad \enspace \: + (\color{blue}{b \cdot (/a + c)} \quad \;))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
-\color{black}{\text{index}:}          & \color{black}{i}               & \color{black}{3}      & \color{black}{2}      & \color{black}{1}      & \color{black}{0 }      & \color{black}{-1}      & \color{black}{-2}      \\
+\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
-\color{black}{\text{place factor}:}   & \color{black}{B^i}             & \color{black}{10^3}   & \color{black}{10^2}   & \color{black}{10^1}   & \color{black}{10^0}    & \color{black}{10^{-1}} & \color{black}{10^{-2}} \\
+\end{array}
-\color{black}{}                       & \color{black}{}                & \color{black}{1000}   & \color{black}{100 }   & \color{black}{10  }   & \color{black}{1   }    & \color{black}{0.1    } & \color{black}{0.01   } \\
-\color{blue }{\text{digits  }:}       & \color{blue }{z_i}             & \color{blue }{2}      & \color{blue }{6}      & \color{blue }{5}      & \color{blue }{8 }      & \color{blue }{4}       & \color{blue }{7}       \\
-\color{white}{\text{place value}:}    & \color{white}{z_i \cdot B^i}   & \color{white}{2000}   & \color{white}{600}    & \color{white}{50}     & \color{white}{8 }      & \color{white}{0.4}     & \color{white}{0.07}    \\
-\color{white}{\text{result}:}         & \color{white}{\sum_i{ z_i \cdot B^i }} & & & \color{white}{2658.47} \\
-\end{smallmatrix}
 \end{align*}
-<----
+<<----
+---->>
+. $\color{blue}{\text{Distributive Law}}$ \\ \\ \\
----->
+\begin{align*}
-. calculate the place value  \\ $\quad$
+\begin{array}{ll}
+/(a \quad \, + ((b \cdot /a) + (b \cdot c)))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
+\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
+\end{array}
+\end{align*}
+<<----
+---->>
+. $\color{blue}{\text{Associative Law}}$ \\ \\ \\
 \begin{align*}
-\begin{smallmatrix}
+\begin{array}{ll}
-\color{black}{\text{numeral}:}        & \color{black}{}                & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8.}      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
+/(\color{blue}{a \quad \, + ((b \cdot /a) + (b \cdot c))})        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
-\color{black}{\text{index}:}          & \color{black}{i}               & \color{black}{3}      & \color{black}{2}      & \color{black}{1}      & \color{black}{0 }      & \color{black}{-1}      & \color{black}{-2}      \\
+\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
-\color{black}{\text{place factor}:}   & \color{black}{B^i}             & \color{black}{10^3}   & \color{black}{10^2}   & \color{black}{10^1}   & \color{black}{10^0}    & \color{black}{10^{-1}} & \color{black}{10^{-2}} \\
+\end{array}
-\color{black}{}                       & \color{black}{}                & \color{black}{1000}   & \color{black}{100 }   & \color{black}{10  }   & \color{black}{1   }    & \color{black}{0.1    } & \color{black}{0.01   } \\
-\color{black}{\text{digits  }:}       & \color{black}{z_i}             & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8 }      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
-\color{blue }{\text{place value}:}    & \color{blue }{z_i \cdot B^i}   & \color{blue }{2000}   & \color{blue }{600}    & \color{blue }{50}     & \color{blue }{8 }      & \color{blue }{0.4}     & \color{blue }{0.07}    \\
-\color{white}{\text{result}:}         & \color{white}{\sum_i{ z_i \cdot B^i }} & & & \color{white}{2658.47} \\
-\end{smallmatrix}
 \end{align*}
-<----
+<<----
----->
+---->>
-.Add all place values  \\ $\quad$
+. $\color{blue}{\text{Associative Law}}$ \\ \\ \\
 \begin{align*}
-\begin{smallmatrix}
+\begin{array}{ll}
-\color{black}{\text{numeral}:}        & \color{black}{}                & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8.}      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
+/(a \quad \, +  \,\,(b \cdot /a) + (b \cdot c)\,\, )        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
-\color{black}{\text{index}:}          & \color{black}{i}               & \color{black}{3}      & \color{black}{2}      & \color{black}{1}      & \color{black}{0 }      & \color{black}{-1}      & \color{black}{-2}      \\
+\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
-\color{black}{\text{place factor}:}   & \color{black}{B^i}             & \color{black}{10^3}   & \color{black}{10^2}   & \color{black}{10^1}   & \color{black}{10^0}    & \color{black}{10^{-1}} & \color{black}{10^{-2}} \\
+\end{array}
-\color{black}{}                       & \color{black}{}                & \color{black}{1000}   & \color{black}{100 }   & \color{black}{10  }   & \color{black}{1   }    & \color{black}{0.1    } & \color{black}{0.01   } \\
-\color{black}{\text{digits  }:}       & \color{black}{z_i}             & \color{black}{2}      & \color{black}{6}      & \color{black}{5}      & \color{black}{8 }      & \color{black}{4}       & \color{black}{7}       \\
-\color{black}{\text{place value}:}    & \color{black}{z_i \cdot B^i}   & \color{black}{2000}   & \color{black}{600}    & \color{black}{50}     & \color{black}{8}      & \color{black}{0.4}     & \color{black}{0.07}    \\
-\color{blue }{\text{result}:}         & \color{blue }{\sum_i{ z_i \cdot B^i }} & & & \color{blue }{2658.47} \\
-\end{smallmatrix}
 \end{align*}
-<----
+<<----
+---->>
+. $\color{blue}{\text{Absorption Law}}$ \\ \\ \\
+\begin{align*}
+\begin{array}{ll}
+/(\color{blue}{a  \quad \, + \,\,(b \cdot /a)} +  (b \cdot c) \,\, )        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
+\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
+\end{array}
+\end{align*}
+<<----
+---->>
+. $\color{blue}{\text{Absorption Law}}$ \\ \\ \\
+\begin{align*}
+\begin{array}{ll}
+/(a \quad \, + \quad\enspace b \quad\,\, + (b \cdot c)  \,\,)        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
+\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
+\end{array}
+\end{align*}
+<<----
+---->>
+. $\color{blue}{\text{Absorption Law}}$ \\ \\ \\
+\begin{align*}
+\begin{array}{ll}
+/(a \quad \, + \quad\enspace \color{blue}{b \quad\,\, + (b \cdot c)}  \,\,)        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
+\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
+\end{array}
+\end{align*}
+<<----
+---->>
+. $\color{blue}{\text{Absorption Law}}$ \\ \\ \\
+\begin{align*}
+\begin{array}{ll}
+/(a \quad \, + \quad\enspace b ) \qquad\qquad\quad\;        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
+\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
+\end{array}
+\end{align*}
+<<----
+---->>
+. $\color{blue}{\text{DeMorgan}}$ \\ \\ \\
+\begin{align*}
+\begin{array}{ll}
+\color{blue}{/(a \quad \, + \quad\enspace b )} \qquad\qquad\quad\;        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
+\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
+\end{array}
+\end{align*}
+<<----
+---->>
+. $\color{blue}{\text{DeMorgan}}$ \\ \\ \\
+\begin{align*}
+\begin{array}{ll}
+\;/a \quad \, \cdot \quad\enspace /b \qquad\qquad\quad\;        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
+\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
+\end{array}
+\end{align*}
+<<----