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elektrotechnik_1:analyse_von_gleichstromnetzen [2020/11/13 03:04] – tfischerelektrotechnik_1:analyse_von_gleichstromnetzen [2023/09/19 22:28] (aktuell) – mexleadmin
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-====== 4. Analyse von Gleichstromnetzen ======+====== 4 Analyse von Gleichstromnetzen ======
  
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 Damit bildet sich ein lineares Gleichungssystem. Dieses kann dann als Matrixgleichung betrachtet werden und mit den Regeln der (mathematischen) Kunst gelöst werden. Damit bildet sich ein lineares Gleichungssystem. Dieses kann dann als Matrixgleichung betrachtet werden und mit den Regeln der (mathematischen) Kunst gelöst werden.
  
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 Für das Beispiel (<imgref BildNr12>) wären dies die Gleichungen:  Für das Beispiel (<imgref BildNr12>) wären dies die Gleichungen: 
  
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 +Die Matrizen müssen noch bei den Spannungs- und Stromquellen korrigiert werden!!
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 +<WRAP group><WRAP column half>
 +=== Beispiel für Knotengleichungen ===
 \begin{align*} \begin{align*}
 \sum\limits_{k=0}^{N_k}{I_k}=0 \\ \\ \sum\limits_{k=0}^{N_k}{I_k}=0 \\ \\
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 Aufstellen der einzelnen Gleichungen:  Aufstellen der einzelnen Gleichungen: 
 \begin{align*} \begin{align*}
-\text{Knoten 'a'} &: -I_0          - I_9  - I_{10}    &= 0 \\ +\scriptsize\text{Knoten 'a'} & \scriptsize : -I_0          - I_9  - I_7    = 0 \\ 
-\text{Knoten 'b'} &: +I_0  - I_1   - I_3          &= 0 \\ +\scriptsize\text{Knoten 'b'} & \scriptsize : +I_0  - I_1   - I_3          = 0 \\ 
-\text{Knoten 'c'} &:   + I_1 - I_2   - I_4         &= 0 \\ +\scriptsize\text{Knoten 'c'} & \scriptsize : + I_1 - I_2   - I_4         = 0 \\ 
-\text{Knoten 'd'} &:    - I_3  + I_4        - I_{11}  &= 0 \\ +\scriptsize\text{Knoten 'd'} & \scriptsize :  - I_5  + I_4        - I_{11}  = 0 \\ 
-\text{Knoten 'e'} &:     + I_3    + I_6  - I_7      &= 0 \\ +\scriptsize\text{Knoten 'e'} & \scriptsize :   + I_5    + I_6  - I_7      = 0 \\ 
-\text{Knoten 'f'} &:    - I_2  + I_3    - I_6    + I_9   +  I_{11}  &= 0 \\\end{align*}+\scriptsize\text{Knoten 'f'} & \scriptsize :  - I_2  + I_3    - I_6    + I_9   +  I_{11}  = 0  
 +\end{align*}
  
 Sortieren der Ströme in Spalten:  Sortieren der Ströme in Spalten: 
 \begin{align*} \begin{align*}
-\text{Knoten 'a'} &: &&-I_0 && && && && && && && && && - I_9 && - I_{10} && &&  = 0 \\ +\begin{smallmatrix} 
-\text{Knoten 'b'} &: &&+I_0 && - I_1 && && - I_3 && && && && && && && && && = 0 \\ +\text{Knoten 'a'}: & -I_0 & & & & & & & - I_7 & - I_9 & &  = 0 \\ 
-\text{Knoten 'c'} &: && && + I_1 &&- I_2 && && - I_4 && && && && && && && && = 0 \\ +\text{Knoten 'b'}: & +I_0 & - I_1 & & - I_3  & & & & & & & = 0 \\ 
-\text{Knoten 'd'} &: && && && &&- I_3 && + I_4 && && && && && && && - I_{11} && = 0 \\ +\text{Knoten 'c'}: &  & + I_1 &- I_2 & & - I_4  & & & & & & = 0 \\ 
-\text{Knoten 'e'} &: && && && && + I_3 && && && + I_6 && - I_7 && && && && && = 0 \\ +\text{Knoten 'd'}: &  & & & & + I_4  & - I_5 & & & & - I_{11} & = 0 \\ 
-\text{Knoten 'f'} &: && && && - I_2 && + I_3 && && && - I_6 && && && + I_9 && && +  I_{11} && = 0 \\ +\text{Knoten 'e'}: &  & & & & & + I_5 & + I_6 & - I_7  & & & = 0 \\ 
- \end{align*}+\text{Knoten 'f'}: &  & & - I_2 & + I_3 & & & - I_6 & &  + I_9 & +  I_{11} & = 0 \\ 
 +\end{smallmatrix} 
 +\end{align*}
  
 Aufstellen der Matrix:  Aufstellen der Matrix: 
 \begin{align*} \begin{align*}
    
-\left( \begin{matrix} +\left( \begin{smallmatrix} 
 -1 & 0  &  0 & 0  & 0  &  0 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ -1 & 0  &  0 & 0  & 0  &  0 & 0 & -1 & -1 & 0 \\
 +1 & -1 &  0 & -1 & 0  &  0 & 0 & 0  & 0  & 0  \\ +1 & -1 &  0 & -1 & 0  &  0 & 0 & 0  & 0  & 0  \\
 0  & +1 & -1 & 0  & -1 &  0 & 0 & 0  & 0  & 0  \\ 0  & +1 & -1 & 0  & -1 &  0 & 0 & 0  & 0  & 0  \\
-0  & 0  &  0 & -1 & +1 &  0 & 0 & 0  & 0  & -1   \\ +0  & 0  &  0 & 0  & +1 & -1 & 0 & 0  & 0  & -1   \\ 
-0  & 0  &  0 & +1 & 0  & +1 & -1& 0  & 0  & 0  \\ +0  & 0  &  0 & 0  & 0  & +1 & +1& -1 & 0  & 0  \\ 
-0  & 0  & -1 & +1 & 0  & -1 & 0 & +1 & 0  & +1  \\ +0  & 0  & -1 & +1 & 0  &  0 & -1& 0  & +1 & +1  \\ 
-\end{matrix} \right) \cdot +\end{smallmatrix} \right)  \cdot 
-\left( \begin{matrix}  +\left( \begin{smallmatrix}  
-I_0 \\ I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4 \\ I_6 \\ I_7 \\ I_9 \\ I_{10} \\ I_{11}  +I_0 \\ I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4 \\ I_5 \\ I_6 \\ I_7 \\ I_9 \\ I_{11}  
-\end{matrix} \right) = \vec{0}+\end{smallmatrix} \right) = \vec{0}
 \end{align*} \end{align*}
 +
 +</WRAP><WRAP column half>
 +=== Beispiel für Maschengleichungen ===
 +\begin{align*}
 +\sum\limits_{m=0}^{N_m}{U_m}=0 \\ \\
 + \end{align*}
 +
 +Aufstellen der einzelnen Gleichungen: 
 +\begin{align*}
 +\scriptsize\text{Masche 'abf'} & \scriptsize : -U_0 + U_3  - U_9    = 0 \\
 +\scriptsize\text{Masche 'bcf'} & \scriptsize : +U_1  - U_2   - U_3          = 0 \\
 +\scriptsize\text{Masche 'cdf'} & \scriptsize :   + U_2 + U_4   - U_{11}         = 0 \\
 +\scriptsize\text{Masche 'def'} & \scriptsize :    + U_5  - U_6        + U_{11}  = 0 \\
 +\scriptsize\text{Masche 'eaf'} & \scriptsize :     + U_6    - U_7 - U_{10} + U_9      = 0 \\
 +\quad \\ 
 +\end{align*}
 +
 +Sortieren der Spannungen in Spalten: 
 +\begin{align*}
 +\begin{smallmatrix}
 +\text{Masche 'abf'}: &-U_0 & & & + U_3 & & & & & & - U_9 & & &  = 0 \\
 +\text{Masche 'bcf'}: & & + U_1 & - U_2 & - U_3 & & & & & & & & & = 0 \\
 +\text{Masche 'cdf'}: & & & + U_2 & & + U_4 & & & & & & & - U_{11}& = 0 \\
 +\text{Masche 'def'}: & & & & & & + U_5 & - U_6 & & & & & + U_{11} & = 0 \\
 +\text{Masche 'eaf'}: & & & & & & & + U_6 & - U_7 - U_{10} & & - U_9 & & & = 0 \\
 +\quad \\ \quad \\
 +\end{smallmatrix}
 +\end{align*}
 +
 +Aufstellen der Matrix, hierbei aber $U_m = R_x \cdot I_m$ beachten: 
 +\begin{align*}
 + 
 +\left( \begin{smallmatrix} 
 +-R_0 & 0    &  0   & +R_3 & 0    &  0   & 0   & -R_9 & 0    & 0 \\
 +0    & +R_1 & -R_2 & -R_3 & 0    &  0   & 0   & 0    & 0    & 0  \\
 +0    & 0    & +R_2 & 0    & +R_4 &  0   & 0   & 0    & 0    & -R_{11}  \\
 +0    & 0    &  0   & 0    & 0    & +R_5 &-R_6 & 0    & 0    & +R_{11}   \\
 +0    & 0    &  0   & 0    & 0    & 0    &+R_6 &-R_7-U_{10}& -R_9 & 0  \\
 +\end{smallmatrix} \right) \cdot
 +\left( \begin{smallmatrix} 
 +I_0 \\ I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4 \\ I_5 \\ I_6 \\ I_7 \\ I_9 \\ I_{11} 
 +\end{smallmatrix} \right) = \vec{0}
 +\quad \\
 +\end{align*}
 +</WRAP></WRAP>
 +</WRAP>
 +
 +Diese Matrizen lassen sich z.B. über das {{wpde>Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren#Beispiel|Gaußsche Eliminationsverfahren}} lösen.
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 +
 +=== weiteres Beispiel in Videos ===
  
 <WRAP group> <WRAP half column> <WRAP group> <WRAP half column>
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 > Die Ströme in den Zweigen in einem linearen Netzwerk sind gleich der Summe der Teilströme in den betreffenden Zweigen, die durch die einzelnen Quellen hervorgerufen werden. > Die Ströme in den Zweigen in einem linearen Netzwerk sind gleich der Summe der Teilströme in den betreffenden Zweigen, die durch die einzelnen Quellen hervorgerufen werden.
- 
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 <WRAP group> <WRAP half column> <WRAP group> <WRAP half column>
Zeile 339: Zeile 399:
 </WRAP> </WRAP> </WRAP> </WRAP>
  
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
 +=== Beispiel === 
 +
 +<WRAP right>
 +<imgcaption BildNr03 | Beispielschaltung mit Superposition>
 +</imgcaption>
 +{{drawio>BeispielschaltungSuperposition}}
 +</WRAP>
 +
 +
 +
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
  
 <panel type="info" title="Aufgabe 4.5.1 Umwandlung eines bipolaren Signals in ein unipolares"> <panel type="info" title="Aufgabe 4.5.1 Umwandlung eines bipolaren Signals in ein unipolares">
 <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
  
-<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?cct=$+1+3e-7+63.8+50+5+43%0Ar+-48+224+64+224+0+10000%0Ar+64+224+64+304+0+50000%0Ar+64+224+64+160+0+2000%0Ag+64+304+64+320+0%0AR+64+160+64+128+0+0+40+5+0+0+0.5%0Av+-192+304+-192+240+0+1+40+20+0+0+0.5%0Ag+-192+304+-192+320+0%0Aw+-192+240+-192+224+0%0Ar+-192+224+-96+224+0+1000%0A368+64+224+224+224+0+0%0Ab+-256+144+-112+341+0%0Ax+-252+367+-84+397+4+24+bipolare%5CsQuelle%5Cs%5C%5Cn(z.B.%5CsSensor)%0Ax+92+193+109+196+4+24+R%0Ax+110+207+123+210+4+24+1%0Ax+112+273+125+276+4+24+2%0Ax+94+259+111+262+4+24+R%0Ax+-18+207+-5+210+4+24+3%0Ax+-36+193+-19+196+4+24+R%0Ax+182+361+355+391+4+24+unipolare%5CsSenke%5C%5Cn(z.B.%5CsuC))%0A370+-96+224+-48+224+1+0%0Ax+-188+184+-171+187+4+24+R%0Ax+-169+193+-156+196+4+24+q%0Ao+9+1024+0+4098+20+6.4+0+2+5+0%0A 730,400 noborder}}+<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&cct=$+1+3e-7+63.8+50+5+43%0Ar+-48+224+64+224+0+10000%0Ar+64+224+64+304+0+50000%0Ar+64+224+64+160+0+2000%0Ag+64+304+64+320+0%0AR+64+160+64+128+0+0+40+5+0+0+0.5%0Av+-192+304+-192+240+0+1+40+20+0+0+0.5%0Ag+-192+304+-192+320+0%0Aw+-192+240+-192+224+0%0Ar+-192+224+-96+224+0+1000%0A368+64+224+224+224+0+0%0Ab+-256+144+-112+341+0%0Ax+-252+367+-84+397+4+24+bipolare%5CsQuelle%5Cs%5C%5Cn(z.B.%5CsSensor)%0Ax+92+193+109+196+4+24+R%0Ax+110+207+123+210+4+24+1%0Ax+112+273+125+276+4+24+2%0Ax+94+259+111+262+4+24+R%0Ax+-18+207+-5+210+4+24+3%0Ax+-36+193+-19+196+4+24+R%0Ax+182+361+355+391+4+24+unipolare%5CsSenke%5C%5Cn(z.B.%5CsuC))%0A370+-96+224+-48+224+1+0%0Ax+-188+184+-171+187+4+24+R%0Ax+-169+193+-156+196+4+24+q%0Ao+9+1024+0+4098+20+6.4+0+2+5+0%0A 730,400 noborder}}
 </WRAP> </WRAP>
  
Zeile 358: Zeile 430:
  
 </WRAP></WRAP></panel> </WRAP></WRAP></panel>
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 +{{page>aufgabe_4.5.2_mit_rechnung&nofooter}}
 +{{page>aufgabe_4.5.3&nofooter}}
 +{{page>aufgabe_4.5.4&nofooter}}
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