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elektrotechnik_1:analyse_von_gleichstromnetzen [2020/11/13 01:21] – tfischerelektrotechnik_1:analyse_von_gleichstromnetzen [2023/09/19 22:28] (aktuell) – mexleadmin
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-====== 4. Analyse von Gleichstromnetzen ======+====== 4 Analyse von Gleichstromnetzen ======
  
 <callout> <callout>
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     - Füge keine Vorzeichen vor den Bezeichnern in der Schaltung ein     - Füge keine Vorzeichen vor den Bezeichnern in der Schaltung ein
  
-In realen Anwendungen bietet es sich an die Anzahl der Variablen ("was ist gesucht?"), der Parameter ("was kann eingestellt werden?", z.B. Poti) und der bekannten Größen ("was ist gegeben?") angegeben wird. Damit wird klar, wie viele Gleichungen benötigt werden.+In realen Anwendungen bietet es sich an die Anzahl der Variablen ("was ist gesucht?"), der Parameter ("was kann eingestellt werden?", z.B. Poti) und der bekannten Größen ("was ist gegeben?") angegeben wird. \\ Damit wird klar, wie viele Gleichungen benötigt werden. Dies scheint bei größeren Netzwerken schwierig zu werden - aber dazu wird im Folgenden ein Trick vorgestellt.
  
 Nicht selten hilft es die Zeichnung mehrmals (zumindest im Kopf) zu zeichnen, um hinreichend viel Platz für die Bezeichner zu haben (vgl. <imgref BildNr10> unten). Nicht selten hilft es die Zeichnung mehrmals (zumindest im Kopf) zu zeichnen, um hinreichend viel Platz für die Bezeichner zu haben (vgl. <imgref BildNr10> unten).
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 Wichtig hierbei ist aber: In diesem Graph werden nur die (echten) Knoten eingezeichnet. Knoten sind ja nach Definition die Verbindung von __mehr als zwei__ Zweigen. Entsprechend ist die Verbindung zwischen $R_{10}$ und $R_7$ __kein Knoten__ ((gelegentliche werden solchen Verbindungen "unechte Knoten" genannt))! Aus diesem Grund ist auch der blaue Kreis als Zeichen für Knoten hier entfallen. Wichtig hierbei ist aber: In diesem Graph werden nur die (echten) Knoten eingezeichnet. Knoten sind ja nach Definition die Verbindung von __mehr als zwei__ Zweigen. Entsprechend ist die Verbindung zwischen $R_{10}$ und $R_7$ __kein Knoten__ ((gelegentliche werden solchen Verbindungen "unechte Knoten" genannt))! Aus diesem Grund ist auch der blaue Kreis als Zeichen für Knoten hier entfallen.
  
-Ein Begriff der bisher noch nicht aufgetaucht ist, ist der des **vollständigen Baum**s. Hierzu ist etwas (mathematische) Graphentheorie gefragt. Auch dort werden die Begriffe Knoten und Maschen so genutzt wie bisher. Ein Baum ist dabei eine spezielle Art eines Graphen. Der Graph in <imgref BildNr11> zeigt mehrere Maschen. \\ +Ein Begriff der bisher noch nicht aufgetaucht ist, ist der des vollständigen Baums. Hierzu ist etwas (mathematische) Graphentheorie gefragt. Auch dort werden die Begriffe Knoten und Maschen so genutzt wie bisher. Ein **Baum** ist dabei eine spezielle Art eines Graphen. Der Graph in <imgref BildNr11> zeigt mehrere Maschen. \\ 
 Ein Baum ist nun gerade dadurch gekennzeichnet, dass er __keine__ Maschen enthält. Im Bild sind drei verschiedene Bäume gezeichnet. Aus einem vorgegebenen Netzwerk lassen sich (abhängig von der Anzahl der Knoten) viele verschiedene Bäume erstellen. \\  Ein Baum ist nun gerade dadurch gekennzeichnet, dass er __keine__ Maschen enthält. Im Bild sind drei verschiedene Bäume gezeichnet. Aus einem vorgegebenen Netzwerk lassen sich (abhängig von der Anzahl der Knoten) viele verschiedene Bäume erstellen. \\ 
-Bei den verschiedenen Bäumen gibt es nun welche, bei denen jeder Knoten zwei oder weniger Maschen verbindet. ((hier wird nun vom bisherigen elektrotechnischen Begriff des Knotens (= Verbindun von mehr als 2 Zweigen) auf die mathematische ))+Bei den verschiedenen Bäumen gibt es nun welche, bei denen jeder Knoten zwei oder weniger Maschen verbindet.((hier wird nun vom bisherigen elektrotechnischen Begriff des Knotens (= Verbindung von mehr als 2 Zweigen) abgewichen. Der mathematische Begriff des Knotens hat diese Einschränkung nicht)) Diese werden **vollständige Bäume** (gelegentlich auch {{wpde>Hamiltonkreisproblem|Hamiltonweg}}) genannt. Vollständige Bäume lassen sich auch so begreifen, dass dieser einen Weg durch das Netzwerk aufzeigt, bei dem alle Knoten nur genau einmal besucht wird. 
 + 
 +Baum 3 in <imgref BildNr11> ist nun gerade einer der möglichen, vollständigen Bäume dieses Netzwerks.  
 + 
 +Die Zweige in vollständigen Bäume werden nun nach ihrer Zugehörigkeit unterschieden: 
 +  * **Baumzweige** gehören zum vollständigen Baum (durchgezogene Linien in <imgref BildNr11>) 
 +  * **Verbindungszweige** gehören nicht zum vollständigen Baum (gepunktete Linien in <imgref BildNr11>). 
 + 
 +Warum ist der Schwenk in die Graphentheorie nun sinnvoll? Der Trick ist, dass durch die Definition des vollständigen Baumes gerade alle Maschen entfernt wurden. Umgekehrt kann durch jeden Verbindungszweig eine neue (unabhängige) Masche erstellt werden. Wird also die Anzahl an unabhängigen Maschengleichungen $m$ gesucht, so ist dies gerade gleich der Anzahl der Verbindungszweige. 
 + 
 +Dazu muss wie folgt vorgegangen werden: 
 +  - Ermittle die Anzahl der (echten) Knoten $k$ 
 +  - Ermittle die Anzahl der Zweige $z$ 
 +  - Die Anzahl der Baumzweige $b$ ist nun $k-1$. (jeder Knoten wird nur einmal durchlaufen; beim letzten Knoten gibt es keinen weiteren Zweig) 
 +  - Die Anzahl der Verbindungszweige $v$ ist gegeben durch "Alle Zweige minus Baumzweige": $v = z - b = z - k + 1$ 
 + 
 +Die Anzahl der unabhängigen Maschengleichungen $m$ ist also durch Abzählen der Knoten $k$ und Zweige $z$ über $m = v = z - k + 1$ auffindbar. 
 + 
 +Diese Erklärung kann auch in [[https://www.youtube.com/watch?v=c7z1pRCzEuw|diesem Video]] nochmals nachgehört werden und wird über [[https://studyflix.de/informatik/euler-und-hamiltonkreis-1287|StudyFlix]] nochmals anschaulich erklärt.
  
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 +===== 4.2 Zweigstromverfahren =====
 +
 <WRAP right> <WRAP right>
-Erklärung zu Knoten, Zweig, Masche, Graph, vollständiger Baum +<imgcaption BildNr12 | Beispielschaltung> 
-{{youtube>c7z1pRCzEuw}}+</imgcaption> 
 +{{drawio>Beispielschaltung}}
 </WRAP> </WRAP>
  
 +Im Zweigstromverfahren werden nun "einfach mal" (fast) alle Gleichungen der Schaltung aufgestellt. Konkret werden für jeden Knoten und jede __unabhängige__ Masche die Knoten- und Maschengleichungen aufgeschrieben:
 +  * für alle Knoten k jeweils die Gleichung: $\sum_{k=0}^{N_k}{I_k}=0$ 
 +  * für alle unabhängige Maschen m jeweils die Gleichung: $\sum_{m=0}^{N_m}{U_m}=0$ \\ Hierbei kann die Anzahl $m$ (wie im vorherigen Unterkapitel erwähnt) über die Anzahl der Knoten und Zweige ermittelt werden. 
  
 +Damit bildet sich ein lineares Gleichungssystem. Dieses kann dann als Matrixgleichung betrachtet werden und mit den Regeln der (mathematischen) Kunst gelöst werden.
 +
 +
 +<WRAP onlyprint>
 +Für das Beispiel (<imgref BildNr12>) wären dies die Gleichungen: 
  
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-===== 4.2 Zweigstromverfahren ===== 
  
-Im Zweigstromverfahren werden: +Die Matrizen müssen noch bei den Spannungs- und Stromquellen korrigiert werden!! 
-  * für alle Knoten k jeweils die Gleichung: $\sum\limits_{i=0}^{N_i}{I_i}=0$ und  + 
-  * für alle Maschen m jeweils die Gleichung: $\sum\limits_{j=0}^{N_j}{U_j}=0$ aufgeschrieben+<WRAP group><WRAP column half> 
 +=== Beispiel für Knotengleichungen === 
 +\begin{align*} 
 +\sum\limits_{k=0}^{N_k}{I_k}=0 \\ \\ 
 + \end{align*} 
 + 
 +Aufstellen der einzelnen Gleichungen:  
 +\begin{align*} 
 +\scriptsize\text{Knoten 'a'} & \scriptsize : -I_0          - I_9  - I_7    = 0 \\ 
 +\scriptsize\text{Knoten 'b'} & \scriptsize : +I_0  - I_1   - I_3          = 0 \\ 
 +\scriptsize\text{Knoten 'c'} & \scriptsize : + I_1 - I_2   - I_4         = 0 \\ 
 +\scriptsize\text{Knoten 'd'} & \scriptsize :  - I_5  + I_4        - I_{11}  = 0 \\ 
 +\scriptsize\text{Knoten 'e'} & \scriptsize :   + I_5    + I_6  - I_7      = 0 \\ 
 +\scriptsize\text{Knoten 'f'} & \scriptsize :  - I_2  + I_3    - I_6    + I_9   +  I_{11}  = 0  
 +\end{align*} 
 + 
 +Sortieren der Ströme in Spalten:  
 +\begin{align*} 
 +\begin{smallmatrix} 
 +\text{Knoten 'a'}: & -I_0 & & & & & & & - I_7 & - I_9 & &  = 0 \\ 
 +\text{Knoten 'b'}: & +I_0 & - I_1 & & - I_3  & & & & & & & = 0 \\ 
 +\text{Knoten 'c'}: &  & + I_1 &- I_2 & & - I_4  & & & & & & = 0 \\ 
 +\text{Knoten 'd'}: &  & & & & + I_4  & - I_5 & & & & - I_{11} & = 0 \\ 
 +\text{Knoten 'e'}: &  & & & & & + I_5 & + I_6 & - I_7  & & & = 0 \\ 
 +\text{Knoten 'f'}: &  & & - I_2 & + I_3 & & & - I_6 & &  + I_9 & +  I_{11} & = 0 \\ 
 +\end{smallmatrix} 
 +\end{align*} 
 + 
 +Aufstellen der Matrix:  
 +\begin{align*} 
 +  
 +\left( \begin{smallmatrix}  
 +-1 & 0  &  0 & 0  & 0  &  0 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 
 ++1 & -1 &  0 & -1 & 0  &  0 & 0 & 0  & 0  & 0  \\ 
 +0  & +1 & -1 & 0  & -1 &  0 & 0 & 0  & 0  & 0  \\ 
 +0  & 0  &  0 & 0  & +1 & -1 & 0 & 0  & 0  & -1   \\ 
 +0  & 0  &  0 & 0  & 0  & +1 & +1& -1 & 0  & 0  \\ 
 +0  & 0  & -1 & +1 & 0  &  0 & -1& 0  & +1 & +1  \\ 
 +\end{smallmatrix} \right)  \cdot 
 +\left( \begin{smallmatrix}  
 +I_0 \\ I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4 \\ I_5 \\ I_6 \\ I_7 \\ I_9 \\ I_{11}  
 +\end{smallmatrix} \right) = \vec{0} 
 +\end{align*} 
 + 
 +</WRAP><WRAP column half> 
 +=== Beispiel für Maschengleichungen === 
 +\begin{align*} 
 +\sum\limits_{m=0}^{N_m}{U_m}=0 \\ \\ 
 + \end{align*} 
 + 
 +Aufstellen der einzelnen Gleichungen:  
 +\begin{align*} 
 +\scriptsize\text{Masche 'abf'} & \scriptsize : -U_0 + U_3  - U_9    = 0 \\ 
 +\scriptsize\text{Masche 'bcf'} & \scriptsize : +U_1  - U_2   - U_3          = 0 \\ 
 +\scriptsize\text{Masche 'cdf'} & \scriptsize :   + U_2 + U_4   - U_{11}         = 0 \\ 
 +\scriptsize\text{Masche 'def'} & \scriptsize :    + U_5  - U_6        + U_{11}  = 0 \\ 
 +\scriptsize\text{Masche 'eaf'} & \scriptsize :     + U_6    - U_7 - U_{10} + U_9      = 0 \\ 
 +\quad \\  
 +\end{align*} 
 + 
 +Sortieren der Spannungen in Spalten:  
 +\begin{align*} 
 +\begin{smallmatrix} 
 +\text{Masche 'abf'}: &-U_0 & & & + U_3 & & & & & & - U_9 & & &  = 0 \\ 
 +\text{Masche 'bcf'}: & & + U_1 & - U_2 & - U_3 & & & & & & & & & = 0 \\ 
 +\text{Masche 'cdf'}: & & & + U_2 & & + U_4 & & & & & & & - U_{11}& = 0 \\ 
 +\text{Masche 'def'}: & & & & & & + U_5 & - U_6 & & & & & + U_{11} & = 0 \\ 
 +\text{Masche 'eaf'}: & & & & & & & + U_6 & - U_7 - U_{10} & & - U_9 & & & = 0 \\ 
 +\quad \\ \quad \\ 
 +\end{smallmatrix} 
 +\end{align*} 
 + 
 +Aufstellen der Matrix, hierbei aber $U_m = R_x \cdot I_m$ beachten:  
 +\begin{align*} 
 +  
 +\left( \begin{smallmatrix}  
 +-R_0 & 0    &  0   & +R_3 & 0    &  0   & 0   & -R_9 & 0    & 0 \\ 
 +0    & +R_1 & -R_2 & -R_3 & 0    &  0   & 0   & 0    & 0    & 0  \\ 
 +0    & 0    & +R_2 & 0    & +R_4 &  0   & 0   & 0    & 0    & -R_{11}  \\ 
 +0    & 0    &  0   & 0    & 0    & +R_5 &-R_6 & 0    & 0    & +R_{11}   \\ 
 +0    & 0    &  0   & 0    & 0    & 0    &+R_6 &-R_7-U_{10}& -R_9 & 0  \\ 
 +\end{smallmatrix} \right) \cdot 
 +\left( \begin{smallmatrix}  
 +I_0 \\ I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4 \\ I_5 \\ I_6 \\ I_7 \\ I_9 \\ I_{11}  
 +\end{smallmatrix} \right) = \vec{0} 
 +\quad \\ 
 +\end{align*} 
 +</WRAP></WRAP> 
 +</WRAP> 
 + 
 +Diese Matrizen lassen sich z.B. über das {{wpde>Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren#Beispiel|Gaußsche Eliminationsverfahren}} lösen. 
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
  
-Diese können dann als Matrixgleichung betrachtet werden und mit den Regeln der (mathematischen) Kunst gelöst werden.+=== weiteres Beispiel in Videos ===
  
 <WRAP group> <WRAP half column> <WRAP group> <WRAP half column>
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 > Die Ströme in den Zweigen in einem linearen Netzwerk sind gleich der Summe der Teilströme in den betreffenden Zweigen, die durch die einzelnen Quellen hervorgerufen werden. > Die Ströme in den Zweigen in einem linearen Netzwerk sind gleich der Summe der Teilströme in den betreffenden Zweigen, die durch die einzelnen Quellen hervorgerufen werden.
- 
- 
  
 <WRAP group> <WRAP half column> <WRAP group> <WRAP half column>
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 </WRAP> </WRAP> </WRAP> </WRAP>
  
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
 +=== Beispiel === 
 +
 +<WRAP right>
 +<imgcaption BildNr03 | Beispielschaltung mit Superposition>
 +</imgcaption>
 +{{drawio>BeispielschaltungSuperposition}}
 +</WRAP>
 +
 +
 +
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
  
 <panel type="info" title="Aufgabe 4.5.1 Umwandlung eines bipolaren Signals in ein unipolares"> <panel type="info" title="Aufgabe 4.5.1 Umwandlung eines bipolaren Signals in ein unipolares">
 <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
  
-<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?cct=$+1+3e-7+63.8+50+5+43%0Ar+-48+224+64+224+0+10000%0Ar+64+224+64+304+0+50000%0Ar+64+224+64+160+0+2000%0Ag+64+304+64+320+0%0AR+64+160+64+128+0+0+40+5+0+0+0.5%0Av+-192+304+-192+240+0+1+40+20+0+0+0.5%0Ag+-192+304+-192+320+0%0Aw+-192+240+-192+224+0%0Ar+-192+224+-96+224+0+1000%0A368+64+224+224+224+0+0%0Ab+-256+144+-112+341+0%0Ax+-252+367+-84+397+4+24+bipolare%5CsQuelle%5Cs%5C%5Cn(z.B.%5CsSensor)%0Ax+92+193+109+196+4+24+R%0Ax+110+207+123+210+4+24+1%0Ax+112+273+125+276+4+24+2%0Ax+94+259+111+262+4+24+R%0Ax+-18+207+-5+210+4+24+3%0Ax+-36+193+-19+196+4+24+R%0Ax+182+361+355+391+4+24+unipolare%5CsSenke%5C%5Cn(z.B.%5CsuC))%0A370+-96+224+-48+224+1+0%0Ax+-188+184+-171+187+4+24+R%0Ax+-169+193+-156+196+4+24+q%0Ao+9+1024+0+4098+20+6.4+0+2+5+0%0A 730,400 noborder}}+<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&cct=$+1+3e-7+63.8+50+5+43%0Ar+-48+224+64+224+0+10000%0Ar+64+224+64+304+0+50000%0Ar+64+224+64+160+0+2000%0Ag+64+304+64+320+0%0AR+64+160+64+128+0+0+40+5+0+0+0.5%0Av+-192+304+-192+240+0+1+40+20+0+0+0.5%0Ag+-192+304+-192+320+0%0Aw+-192+240+-192+224+0%0Ar+-192+224+-96+224+0+1000%0A368+64+224+224+224+0+0%0Ab+-256+144+-112+341+0%0Ax+-252+367+-84+397+4+24+bipolare%5CsQuelle%5Cs%5C%5Cn(z.B.%5CsSensor)%0Ax+92+193+109+196+4+24+R%0Ax+110+207+123+210+4+24+1%0Ax+112+273+125+276+4+24+2%0Ax+94+259+111+262+4+24+R%0Ax+-18+207+-5+210+4+24+3%0Ax+-36+193+-19+196+4+24+R%0Ax+182+361+355+391+4+24+unipolare%5CsSenke%5C%5Cn(z.B.%5CsuC))%0A370+-96+224+-48+224+1+0%0Ax+-188+184+-171+187+4+24+R%0Ax+-169+193+-156+196+4+24+q%0Ao+9+1024+0+4098+20+6.4+0+2+5+0%0A 730,400 noborder}}
 </WRAP> </WRAP>
  
Zeile 301: Zeile 430:
  
 </WRAP></WRAP></panel> </WRAP></WRAP></panel>
 +
 +
 +{{page>aufgabe_4.5.2_mit_rechnung&nofooter}}
 +{{page>aufgabe_4.5.3&nofooter}}
 +{{page>aufgabe_4.5.4&nofooter}}
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