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 example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\ example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\
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-example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\+At first we will switch the representation to the following: \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
-\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &         \\+\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &    \color{white}{\overline{ab}}                  \\
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 \end{array} \end{array}
 \end{align*} \end{align*}
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-example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\+At first we will switch the representation to the following: \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
-\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &         \\+/(a + (b \cdot (/a + c) \cdot 1 ) + a )        &  \color{white}{\overline{ab}}                    \\
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 \end{array} \end{array}
 \end{align*} \end{align*}
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-example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\+1. $\color{blue}{\text{Neutral Element}}$ \\ \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
-\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &         \\+/(a + (b \cdot (/a + c) \color{blue}{\cdot 1} ) + a )        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 \end{array} \end{array}
 \end{align*} \end{align*}
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-example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\+1. $\color{blue}{\text{Neutral Element}}$ \\ \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
-\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &         \\+/(a + (b \cdot (/a + c) \quad \; ) + a )        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 \end{array} \end{array}
 \end{align*} \end{align*}
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-example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\+2. $\color{blue}{\text{Commutative Law}}$ \\ \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
-\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &         \\+/(a + \color{blue}{(b \cdot (/a + c) \quad \; ) + a })        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 \end{array} \end{array}
 \end{align*} \end{align*}
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-example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\+2. $\color{blue}{\text{Commutative Law}}$ \\ \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
-\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &         \\+/(a + a + (b \cdot (/a + c) \quad \; ))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 \end{array} \end{array}
 \end{align*} \end{align*}
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-example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\+3. $\color{blue}{\text{Idempotence}}$ \\ \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
-\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &         \\+/(\color{blue}{a + a} + (b \cdot (/a + c)\quad \;))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 \end{array} \end{array}
 \end{align*} \end{align*}
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-example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\+3. $\color{blue}{\text{Idempotence}}$ \\ \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
-\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &         \\+/(a \quad \enspace \: + (b \cdot (/a + c)\quad \;))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 \end{array} \end{array}
 \end{align*} \end{align*}
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-example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\+4. $\color{blue}{\text{Distributive Law}}$ \\ \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
-\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &         \\+/(a \quad \enspace \: + (\color{blue}{b \cdot (/a + c)} \quad \;))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 \end{array} \end{array}
 \end{align*} \end{align*}
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-example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\+4. $\color{blue}{\text{Distributive Law}}$ \\ \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
-\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &         \\+/(a \quad \, + ((b \cdot /a) + (b \cdot c)))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 \end{array} \end{array}
 \end{align*} \end{align*}
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-example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\+5. $\color{blue}{\text{Associative Law}}$ \\ \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
-\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &         \\+/(\color{blue}{a \quad \, + ((b \cdot /a) + (b \cdot c))})        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 \end{array} \end{array}
 \end{align*} \end{align*}
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-example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\+5. $\color{blue}{\text{Associative Law}}$ \\ \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
-\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &         \\+/(a \quad \, +  \,\,(b \cdot /a) + (b \cdot c)\,\, )        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 \end{array} \end{array}
 \end{align*} \end{align*}
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-example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\+6. $\color{blue}{\text{Absorption Law}}$ \\ \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
-\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &         \\+/(\color{blue}{a  \quad \, + \,\,(b \cdot /a)} +  (b \cdot c) \,\, )        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 \end{array} \end{array}
 \end{align*} \end{align*}
- 
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-example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\+6. $\color{blue}{\text{Absorption Law}}$ \\ \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
-\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &         \\+/(a \quad \, + \quad\enspace b \quad\,\, + (b \cdot c)  \,\,)        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 \end{array} \end{array}
 \end{align*} \end{align*}
- 
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-example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\+7. $\color{blue}{\text{Absorption Law}}$ \\ \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
-\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &         \\+/(a \quad \, + \quad\enspace \color{blue}{b \quad\,\, + (b \cdot c)}  \,\,)        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 \end{array} \end{array}
 \end{align*} \end{align*}
- 
 <<---- <<----
  
 ---->> ---->>
-At first we will switch the representation to the following: \\ \\+7. $\color{blue}{\text{Absorption Law}}$ \\ \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
-\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &    \color{white}{\overline{ab}}                  \\ +/(a \quad \, + \quad\enspace b ) \qquad\qquad\quad\;        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
-\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ +
-\end{array} +
-\end{align*} +
-<<---- +
----->> +
-At first we will switch the representation to the following: \\ \\ +
- +
-\begin{align*} +
-\begin{array}{ll} +
-/(a + (b \cdot (/a + c) \cdot 1 ) + a )        &  \color{white}{\overline{ab}}                    \\+
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 \end{array} \end{array}
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-1. $\color{blue}{\text{Neutral Element}}$ \\ \\ \\+8. $\color{blue}{\text{DeMorgan}}$ \\ \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
-/(a + (b \cdot (/a + c) \color{blue}{\cdot 1} ) + a )        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\+\color{blue}{/(a \quad \, + \quad\enspace b )} \qquad\qquad\quad\;        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 \end{array} \end{array}
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-1. $\color{blue}{\text{Neutral Element}}$ \\ \\ \\ +8. $\color{blue}{\text{DeMorgan}}$ \\ \\ \\
- +
-\begin{align*} +
-\begin{array}{ll} +
-/(a + (b \cdot (/a + c) \quad \; ) + a )        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ +
-\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ +
-\end{array} +
-\end{align*} +
-<<---- +
- +
----->> +
-2. $\color{blue}{\text{Commutative Law}}$ \\ \\ \\ +
- +
-\begin{align*} +
-\begin{array}{ll} +
-/(a + \color{blue}{(b \cdot (/a + c) \quad \; ) + a })        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ +
-\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ +
-\end{array} +
-\end{align*} +
-<<---- +
- +
----->> +
-2. $\color{blue}{\text{Commutative Law}}$ \\ \\ \\ +
- +
-\begin{align*} +
-\begin{array}{ll} +
-/(a + a + (b \cdot (/a + c) \quad \; ))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ +
-\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ +
-\end{array} +
-\end{align*} +
-<<---- +
- +
----->> +
-3. $\color{blue}{\text{Idempotence}}$ \\ \\ \\ +
- +
-\begin{align*} +
-\begin{array}{ll} +
-/(\color{blue}{a + a} + (b \cdot (/a + c)\quad \;))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ +
-\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ +
-\end{array} +
-\end{align*} +
-<<---- +
- +
----->> +
-3. $\color{blue}{\text{Idempotence}}$ \\ \\ \\ +
- +
-\begin{align*} +
-\begin{array}{ll} +
-/(a \quad \enspace \: + (b \cdot (/a + c)\quad \;))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ +
-\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ +
-\end{array} +
-\end{align*} +
-<<---- +
- +
----->> +
-4. $\color{blue}{\text{Distributive Law}}$ \\ \\ \\ +
- +
-\begin{align*} +
-\begin{array}{ll} +
-/(a \quad \enspace \: + (\color{blue}{b \cdot (/a + c)} \quad \;))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ +
-\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ +
-\end{array} +
-\end{align*} +
-<<---- +
- +
----->> +
-4. $\color{blue}{\text{Distributive Law}}$ \\ \\ \\ +
- +
-\begin{align*} +
-\begin{array}{ll} +
-/(a \quad \, + ((b \cdot /a) + (b \cdot c)))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ +
-\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ +
-\end{array} +
-\end{align*} +
-<<---- +
- +
----->> +
-5. $\color{blue}{\text{Associative Law}}$ \\ \\ \\ +
- +
-\begin{align*} +
-\begin{array}{ll} +
-/(\color{blue}{a \quad \, + ((b \cdot /a) + (b \cdot c))})        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ +
-\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ +
-\end{array} +
-\end{align*} +
-<<---- +
- +
----->> +
-5. $\color{blue}{\text{Associative Law}}$ \\ \\ \\ +
- +
-\begin{align*} +
-\begin{array}{ll} +
-/(a \quad \, + (b \cdot /a) + \; (b \cdot c)\; )        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ +
-\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ +
-\end{array} +
-\end{align*} +
-<<---- +
- +
----->> +
-6. $\color{blue}{\text{Absorption Law}}$ \\ \\ \\ +
- +
-\begin{align*} +
-\begin{array}{ll} +
-/((\color{blue}{a \enspace \: + (b \cdot /a)}) + \, (b \cdot c) \, )        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ +
-\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ +
-\end{array} +
-\end{align*} +
-<<---- +
- +
----->> +
-6. $\color{blue}{\text{Absorption Law}}$ \\ \\ \\ +
- +
-\begin{align*} +
-\begin{array}{ll} +
-/(a \enspace \: + \, b \quad + \, (b \cdot c) \,)        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ +
-\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ +
-\end{array} +
-\end{align*} +
-<<---- +
- +
----->> +
-7. $\color{blue}{\text{Absorption Law}}$ \\ \\ \\+
  
 \begin{align*} \begin{align*}
 \begin{array}{ll} \begin{array}{ll}
-/(a \enspace \: + \, \color{blue}{b \quad + \, (b \cdot c) \,)        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\+\;/a \quad \, \cdot \quad\enspace /b \qquad\qquad\quad\;        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 \end{array} \end{array}
 \end{align*} \end{align*}
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