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introduction_to_digital_systems:calc_logic_example [2021/09/16 23:10] – tfischerintroduction_to_digital_systems:calc_logic_example [2021/09/17 00:08] (aktuell) – tfischer
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 ~~REVEAL ~~ ~~REVEAL ~~
-  + 
----->+---->>
 example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\ example for a simplification with the rule for boolean algebra \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-\begin{matrix}{ll} +\begin{array}{ll} 
-\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &                      \\+\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &         \\
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
-\end{matrix}+\end{array}
 \end{align*} \end{align*}
-<---- 
  
----->+<<---- 
 + 
 +---->>
 At first we will switch the representation to the following: \\ \\ At first we will switch the representation to the following: \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-\begin{matrix}{ll} +\begin{array}{ll} 
-/(a + (b \cdot (/a + c) \cdot 1 ) + a )        &                      \\+\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}        &    \color{white}{\overline{ab}}                  \\
 \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
-\end{matrix}+\end{array}
 \end{align*} \end{align*}
-<----+<<---- 
 +---->> 
 +At first we will switch the representation to the following: \\ \\
  
-----> +\begin{align*} 
-so lets start $\color{white}{\quad\quad\quad} $\\+\begin{array}{ll} 
 +/(a + (b \cdot (/a + c) \cdot 1 ) + a )        &  \color{white}{\overline{ab}}                    \\ 
 +\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ 
 +\end{array} 
 +\end{align*} 
 +<<----
  
-$/(a + (b \cdot (/a + c) \cdot 1 ) + a )$+---->> 
 +1. $\color{blue}{\text{Neutral Element}}$ \\ \\ \\
  
 +\begin{align*}
 +\begin{array}{ll}
 +/(a + (b \cdot (/a + c) \color{blue}{\cdot 1} ) + a )        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
 +\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 +\end{array}
 +\end{align*}
 +<<----
  
-<----+---->> 
 +1. $\color{blue}{\text{Neutral Element}}$ \\ \\ \\ 
 + 
 +\begin{align*} 
 +\begin{array}{ll} 
 +/(a + (b \cdot (/a + c) \quad \; ) + a )        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ 
 +\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ 
 +\end{array} 
 +\end{align*} 
 +<<----
  
-----> +---->> 
-1. Put space between the digits \\ $\quad$ +2. $\color{blue}{\text{Commutative Law}}$ \\ \\ \\
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-\begin{matrix}{ll} +\begin{array}{ll} 
-/(a + (b \cdot (/a + c) \color{blue}{\cdot 1} ) + a )        & \color{blue}{\text{Neutral Element}}                     \\ +/(a + \color{blue}{(b \cdot (/a + c) \quad \; ) + a })        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ 
-\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \color{white}{.}                    \\ +\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ 
-\end{matrix}+\end{array}
 \end{align*} \end{align*}
-<----+<<----
  
-----> +---->> 
-example for a simplification with the rule for boolean algebra \\+2. $\color{blue}{\text{Commutative Law}}$ \\ \\ \\
  
-$\overline{a \lor (b \land (\bar{a} \lor c) \land 1) \lor a}$ +\begin{align*} 
-<----+\begin{array}{ll} 
 +/(a + a + (b \cdot (/a + c) \quad \; ))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ 
 +\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ 
 +\end{array} 
 +\end{align*} 
 +<<----
  
-----> +---->> 
-At first we will switch the representation to the following: \\+3. $\color{blue}{\text{Idempotence}}$ \\ \\ \\
  
-$/(a + (b \cdot (/a + c) \cdot 1 ) + a )$+\begin{align*} 
 +\begin{array}{ll} 
 +/(\color{blue}{a + a} + (b \cdot (/a + c)\quad \;))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ 
 +\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ 
 +\end{array} 
 +\end{align*} 
 +<<----
  
-<----+---->> 
 +3. $\color{blue}{\text{Idempotence}}$ \\ \\ \\
  
-----> +\begin{align*} 
-so lets start $\color{white}{\quad\quad\quad} $\\+\begin{array}{ll} 
 +/(a \quad \enspace \: + (b \cdot (/a + c)\quad \;))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ 
 +\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ 
 +\end{array} 
 +\end{align*} 
 +<<----
  
-$/(a + (b \cdot (/a + c) \cdot 1 ) + a )$+---->> 
 +4. $\color{blue}{\text{Distributive Law}}$ \\ \\ \\
  
 +\begin{align*}
 +\begin{array}{ll}
 +/(a \quad \enspace \: + (\color{blue}{b \cdot (/a + c)} \quad \;))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\
 +\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\
 +\end{array}
 +\end{align*}
 +<<----
  
-<----+---->> 
 +4. $\color{blue}{\text{Distributive Law}}$ \\ \\ \\ 
 + 
 +\begin{align*} 
 +\begin{array}{ll} 
 +/(a \quad \, + ((b \cdot /a) + (b \cdot c)))        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ 
 +\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ 
 +\end{array} 
 +\end{align*} 
 +<<---- 
 + 
 +---->> 
 +5. $\color{blue}{\text{Associative Law}}$ \\ \\ \\ 
 + 
 +\begin{align*} 
 +\begin{array}{ll} 
 +/(\color{blue}{a \quad \, + ((b \cdot /a) + (b \cdot c))})        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ 
 +\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ 
 +\end{array} 
 +\end{align*} 
 +<<---- 
 + 
 +---->> 
 +5. $\color{blue}{\text{Associative Law}}$ \\ \\ \\ 
 + 
 +\begin{align*} 
 +\begin{array}{ll} 
 +/(a \quad \, +  \,\,(b \cdot /a) + (b \cdot c)\,\, )        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ 
 +\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ 
 +\end{array} 
 +\end{align*} 
 +<<---- 
 + 
 +---->> 
 +6. $\color{blue}{\text{Absorption Law}}$ \\ \\ \\ 
 + 
 +\begin{align*} 
 +\begin{array}{ll} 
 +/(\color{blue}{a  \quad \, + \,\,(b \cdot /a)} +  (b \cdot c) \,\, )        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ 
 +\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ 
 +\end{array} 
 +\end{align*} 
 +<<---- 
 + 
 +---->> 
 +6. $\color{blue}{\text{Absorption Law}}$ \\ \\ \\ 
 + 
 +\begin{align*} 
 +\begin{array}{ll} 
 +/(a \quad \, + \quad\enspace b \quad\,\, + (b \cdot c)  \,\,)        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ 
 +\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ 
 +\end{array} 
 +\end{align*} 
 +<<---- 
 + 
 +---->> 
 +7. $\color{blue}{\text{Absorption Law}}$ \\ \\ \\ 
 + 
 +\begin{align*} 
 +\begin{array}{ll} 
 +/(a \quad \, + \quad\enspace \color{blue}{b \quad\,\, + (b \cdot c)}  \,\,)        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ 
 +\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ 
 +\end{array} 
 +\end{align*} 
 +<<---- 
 + 
 +---->> 
 +7. $\color{blue}{\text{Absorption Law}}$ \\ \\ \\ 
 + 
 +\begin{align*} 
 +\begin{array}{ll} 
 +/(a \quad \, + \quad\enspace b ) \qquad\qquad\quad\;        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ 
 +\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ 
 +\end{array} 
 +\end{align*} 
 +<<---- 
 + 
 +---->> 
 +8. $\color{blue}{\text{DeMorgan}}$ \\ \\ \\ 
 + 
 +\begin{align*} 
 +\begin{array}{ll} 
 +\color{blue}{/(a \quad \, + \quad\enspace b )} \qquad\qquad\quad\;        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ 
 +\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ 
 +\end{array} 
 +\end{align*} 
 +<<---- 
 + 
 +---->> 
 +8. $\color{blue}{\text{DeMorgan}}$ \\ \\ \\ 
 + 
 +\begin{align*} 
 +\begin{array}{ll} 
 +\;/a \quad \, \cdot \quad\enspace /b \qquad\qquad\quad\;        &      \color{white}{\overline{ab}}                 \\ 
 +\quad\quad\quad\quad\quad\quad          & \quad\quad\quad\quad\quad\quad                  \\ 
 +\end{array} 
 +\end{align*} 
 +<<----