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| elektrotechnik_1:schaltvorgaenge_an_rc-kombinationen [2021/09/25 02:19] – tfischer | elektrotechnik_1:schaltvorgaenge_an_rc-kombinationen [2023/09/19 22:57] (aktuell) – mexleadmin | ||
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| - | ====== 7. Switching operations on RC combinations | + | ====== 7 Schaltvorgänge an RC-Kombinationen |
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| - | - Capacitor | + | - Kondensator |
| - | - Charge | + | - Laden / Entladen von FET-Kondensator |
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| < | < | ||
| - | < | + | < |
| - | < | + | < |
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| - | At the previous chapter the capacitor was already described. It consists of two insulated conductors separated by an insulator | + | Im vorherigen Kapitel wurde bereits der Kondensator beschrieben. Er besteht aus zwei isolierten Leitern, die von einem Isolator getrennt sind (vgl. < |
| - | They serve as energy storage. This is done in the following manner: | + | Sie dienen als Energiespeicher. Dies geschieht |
| - | - An external source draws charge carriers from one of the electrodes and carries them to the other electrode. | + | - Eine äußere Quelle zieht Ladungsträger von einer der Elektroden ab und befördert diese zur anderen Elektrode |
| - | - If the external source is a voltage source with the voltage | + | - Ist die äußere Quelle eine Spannungsquelle mit der Spannung |
| - | - These charges form an electric field in the space between the electrodes. This field stores the supplied energy. | + | - Diese Ladungen bilden |
| - | It is true that the larger the voltage | + | Es gilt: Je größer die Spannung |
| - | This relationship is directly | + | Dieser Zusammenhang ist direkt |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | C = {{Q}\over{U}} \quad \text{with:} \quad [C]=1 {{As}\over{V}}= 1 F = 1\; Farad | + | C = {{Q}\over{U}} |
| - | \end{align} | + | \end{align*} |
| - | But it is not always directly recognizable that a structure contains a capacitor. \\ So the following examples are also capacitors: | + | Aber nicht immer ist direkt zu erkennen, das ein Aufbau einen Kondensator enthält. \\ So sind folgende Beispiele auch Kondensatoren: |
| - | * **open switch**: If there is voltage between the two metal parts, charges can also accumulate there. \\ Since the distances are usually large and air is used as the dielectric, the capacitance of the capacitor formed | + | * **offener Schalter**: Liegt zwischen den beiden Metallteilen eine Spannung an, so können sich dort auch Ladungen ansammeln. \\ Da die Abstände |
| - | * **Overhead line**: An overhead line also represents a capacitor against the ground potential of the earth. The charging and discharging by the alternating current leads to the fact that polarizable molecules can align themselves. For example, the water drops near the line are rolled through the field and hum with $100Hz$ and many times that (harmonics). Peak discharge results in the high frequency crackle. | + | * **Freileitung**: Eine Freileitung stellt gegen das Massepotential des Erdbodens auch ein Kondensator dar. Das Laden und Entladen durch den Wechselstrom führt dazu, dass sich polarisierbare Moleküle Ausrichten können. So werden z.B. die Wassertropfen in der Nähe der Leitung durch das Feld durchgewalkt und brummen mit $100~\rm Hz$ und vielfachem davon (Oberwellen). Durch Spitzenentladung ergibt sich das hochfrequente Knistern. |
| - | * **Conductor Trace**: A trace on a PCB can also be a capacitor against a nearby ground plane. This can be a problem for digital signals | + | * **Leiterbahn**: Auch eine Leiterbahn auf einer Platine kann gegen eine naheliegende Massefläche einen Kondensator darstellen. Dies kann für digitale Signale eine Problem darstellen |
| - | * **Human Body**: The human body can likewise pick up charge. The charge thus absorbed forms a capacitor with respect to other objects. This can be charged up to some $kV$. This is a particular problem | + | * **Menschlicher Körper**: Der menschliche Körper kann ebenso Ladung aufnehmen. Die so aufgenommene Ladung bildet gegenüber anderen Objekten einen Kondensator. Dieser kann auf einige |
| - | * **Membrane of nerve cells**: Nerve cells also result in a capacitor due to the lipid bilayer | + | * **Membran von Nervenzellen**: Auch bei Nervenzellen ergeben sich durch die Lipiddoppelschicht |
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| - | In the following, the charging process of a capacitor is to be considered in more detail. For this purpose, one has to realize, that during charging of the capacitor, besides the voltage source | + | Im Folgenden soll der Ladevorgang eines Kondensators näher betrachtet werden. Dazu muss man sich vergegenwärtigen, dass beim Laden des Kondensators neben der Spannungsquelle |
| - | To start the loading, an (ideal) switch | + | Um das Laden zu starten, wird noch ein (idealer) Schalter |
| - | The circuit to be considered then looks like shown in < | + | Die zu betrachtende Schaltung sieht also dann aus wie in < |
| - | An ideal switch is characterized by: | + | Ein idealer Schalter ist dabei gekennzeichnet durch: |
| - | * infinitely fast switching | + | * unendlich schnellem Schalten |
| - | * resistance of $0\Omega$ | + | * Widerstand von $0~\rm \Omega$ |
| - | * resistance | + | * Widerstand |
| - | * no capacitive effect | + | * keiner kapazitiven Wirkung |
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| - | In this chapter also time-varying quantities are considered. These are generally marked with small letters. Examples of time-varying quantities are: | + | In diesem Kapitel werden auch zeitlich veränderliche Größen betrachtet. Diese werden allgemein mit kleine Buchstaben gekennzeichnet. Beispiele für zeitlich veränderliche Größen sind: |
| - | * A **time-varying voltage | + | * Eine **zeitlich veränderliche Spannung |
| - | * A **time-varying current | + | * Ein **zeitlich veränderlicher Strom $i_L(t)$ |
| - | Since the time dependence is already clear from the small letter, these quantities are occasionally not indicated by the trailing | + | Da durch den kleinen Buchstaben bereits die Zeitabhängigkeit klar ist, wird bei diesen Größen gelegentlich diese nicht durch das nachgestellte |
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| - | ===== 7.1 Time course of the charging and discharging process | + | ===== 7.1 Zeitverlauf des Lade- und Entladevorgangs |
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| - | === Goals === | + | === Ziele === |
| - | After this lesson, you should: | + | Nach dieser Lektion sollten Sie: |
| - | - know the time constant | + | - die Zeitkonstante |
| - | - Be able to determine the time characteristic of the currents and voltages at the RC element for a given resistance and capacitance. | + | - den Zeitverlauf der Ströme und Spannungen am RC-Glied bei gegebenem Widerstand und Kapazität ermitteln können. |
| - | - know the continuity conditions of electrical quantities. | + | - die Stetigkeitsbedingungen der elektrischen Größen kennen. |
| - | - know when (=according to which measure) the capacitor is considered to be fully charged | + | - wissen, ab wann (=nach welchem Maß) der Kondensator als vollständig aufgeladen |
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| - | < | + | < |
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| - | In the simulation on the right you can see the circuit mentioned above in a slightly modified form: | + | In der Simulation rechts sehen Sie die oben angesprochene Schaltung |
| - | * The capacitance | + | * Die Kapazität |
| - | * But it is also possible to short-circuit the rich circuit of $R$ and $C$ via the switch $S$. | + | * Über den Schalter $S$ ist aber auch möglich die Reihenschaltung von $R$ und $C$ kurzzuschließen. |
| - | * Furthermore the current | + | * Weiterhin wird der Strom $i_C$ und die Spannung |
| - | * Additionally it is possible to change the capacitance value $C$ and resistance value $R$ with the sliders | + | * Zusätzlich ist es möglich mit den Slidern |
| - | Exercises: | + | Aufgaben: |
| - | - Become familiar with how the capacitor current | + | - Machen Sie sich damit vertraut, wie der Kondensatorstrom |
| - | - Which quantity | + | - Welche Größe |
| \\ | \\ | ||
| - | At the following, this circuit is divided into two separate circuits, which consider only charging and only discharging. | + | Diese Schaltung wird in Folgenden in zwei einzelne Schaltungen zerlegt, welche nur das Laden bzw. nur das Entladen betrachten. |
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| {{drawio> | {{drawio> | ||
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| - | To understand the charging process of a capacitor, an initially uncharged capacitor with capacitance | + | Um den Ladevorgang eines Kondensators zu verstehen, soll ein zunächst ungeladener Kondensator mit der Kapazität |
| - | * In order that the voltage | + | * Damit die Spannung |
| - | * Directly after the time $t_0$ the maximum current | + | * Direkt nach dem Zeitpunkt |
| - | * The current causes charge carriers to flow from one electrode to the other. Thus the capacitor is charged and its voltage increases | + | * Durch den Strom fließen Ladungsträger von einer Elektrode zur anderen. Damit wird der Kondensator geladen und seine Spannung steigt |
| - | * Thus the voltage | + | * Somit reduziert sich die Spannung |
| - | * With the current thus reduced, less charge flows on the capacitor. | + | * Durch den so reduzierten Strom fließen weniger Ladungen auf der Kondensator. |
| - | * Ideally, the capacitor is not fully charged to the specified voltage $U_q$ until $t \rightarrow \infty$. | + | * Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ |
| - | The process is now to be summarized | + | Der Ablauf soll nun im Einzelnen |
| - | Linear components are used in the circuit, i.e. the component values for the resistor | + | In der Schaltung werden lineare Bauteile genutzt, d.h. die Komponentenwerte für den Widerstand |
| - | Then definition equations for the resistor | + | Dann gelten Definitionsgleichungen für den Widerstand |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | R = {{u_R(t)}\over{i_R(t)}} = {{du_R}\over{di_R}} = const. \\ | + | R = {{u_R(t)}\over{i_R(t)}} = {{{\rm d}u_R}\over{{\rm d}i_R}} = {\rm const.} \\ |
| - | C = {{q(t)}\over{u_C(t)}} = {{dq}\over{du_C}} = const. | + | C = {{q (t)}\over{u_C(t)}} = {{{\rm d} q}\over{{\rm d}u_C}} = {\rm const.} |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | The following explanations are also well explained | + | Die folgenden Erklärungen sind auch in diesen beiden Videos zum zum [[https:// |
| - | ==== Charging a capacitor at time t=0 ==== | + | ==== Laden eines Kondensators zum Zeitpunkt |
| - | By considering the mesh, the general result is: the voltage of the source is equal to the sum of the two voltages across the resistor and capacitor. | + | Durch die Betrachtung der Masche ergibt sich allgemein: Die Spannung der Quelle ist gleich der Summe der beiden Spannungen über Widerstand und Kondensator. |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| Zeile 130: | Zeile 130: | ||
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | At the first instant | + | Im ersten Augenblick |
| - | For this, $(7.1.1)$ | + | Für diese ergibt sich mit $(7.1.1)$: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | i_C = {{dq}\over{dt}} \quad \text{and} \quad dq = C \cdot du_C | + | i_C = {{{\rm d}q}\over{{\rm d}t}} \quad \quad \text{und} \quad {\rm d}q = C \cdot {\rm d}u_C |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | The charging current | + | Aus den beiden Formeln lässt sich der Ladestrom |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | i_C = C \cdot {{du_C}\over{dt}} \tag{7.1.3} | + | i_C = C \cdot {{{\rm d}u_C}\over{{\rm d}t}} \tag{7.1.3} |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Thus $(7.1.2)$ | + | Damit wird $(7.1.2)$ |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | U_q &=u_R + u_C \\ | + | U_q &=u_R + u_C \\ |
| - | &= R \cdot C \cdot {{du_C}\over{dt}} + u_C | + | &= R \cdot C \cdot {{{\rm d}u_C}\over{{\rm d}t}} + u_C |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | --> | + | --> |
| - | This result represents a 1st order differential equation. \\ | + | Dieses Ergebnis stellt eine Differentialgleichung 1. Ordnung dar. \\ |
| - | This should generally be rewritten | + | Dieses sollte generell |
| - | This is already present here. The appropriate approach to such a problem is: | + | Dies liegt hier schon vor. Der passende Ansatz für ein solches Problem ist: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} | + | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | U_q &= R \cdot C \cdot {{d}\over{dt}}(\mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ | + | U_q &= R \cdot C \cdot {{\rm d}\over{{\rm d}t}}(\mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ |
| - | &= R \cdot C \cdot \mathcal{AB} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ | + | &= R \cdot C \cdot |
| - | U_q - \mathcal{C} &= ( R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} ) \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} \\ | + | U_q - \mathcal{C} & |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | This equation must hold for every $t$. This is only possible if the left as well as the right term become equal to 0. \\ Thus: | + | Diese Gleichung muss für jedes $t$ gelten. Dies ist nur möglich wenn der linke als auch der rechte Term gleich |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \mathcal{C} = U_q \ | + | \mathcal{C} = U_q \\ \\ |
| - | R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} &= 0 \quad \quad | : \mathcal{A} \quad | -1 \ | + | R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} &= 0 \quad \quad |
| - | R \cdot C \cdot \mathcal{B} &= - 1 \\ | + | R \cdot C \cdot \mathcal{B} &= - 1 \\ |
| - | \mathcal{B} &= - {{1}\over{R C}} \\ | + | \mathcal{B} &= - {{1}\over{R C}} \\ |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | So it follows: | + | Es ergibt sich also: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} }} + U_q | + | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} }} + U_q |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | For the solution it must still hold that at time $t_0=0$ $u_C(t_0) = 0$ just holds: | + | Für die Lösung muss noch gelten, dass zum Zeitpunkt |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | 0 &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}} + U_q \\ | + | 0 &= \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{0}} + U_q \\ |
| - | 0 &= \mathcal{A} + U_q \ | + | 0 &= \mathcal{A} |
| \mathcal{A} &= - U_q | \mathcal{A} &= - U_q | ||
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | So the solution is: | + | Die Lösung ist also: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) &= - U_q \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}}}} + U_q | + | u_C(t) &= - U_q \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}}}} + U_q |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| Zeile 199: | Zeile 199: | ||
| - | And this results in: | + | Und damit ergibt sich: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) &= U_q \cdot (1 - e^{\large{- {{t}\over{R C}}}}) | + | u_C(t) &= U_q \cdot (1 - {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}}}}) |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | And with $(7.1.3)$, $i_C$ becomes: | + | Und mit $(7.1.3)$ |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | i_C(t) &= {{U_q}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } } | + | i_C(t) &= {{U_q}\over{R}} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} } } |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | In < | + | In < |
| - | < | + | < |
| - | < | + | < |
| </ | </ | ||
| {{drawio> | {{drawio> | ||
| </ | </ | ||
| - | <callout icon=" | + | <callout icon=" |
| - | * There must be a unitless term in the exponent. So $RC$ must also represent a time. \\ This time is called | + | * Im Exponenten muss ein einheitenloser Term stehen. Also muss $RC$ auch eine Zeit darstellen. \\ Diese Zeit wird **Zeitkonstante** $\tau =R \cdot C$ genannt. \\ \\ |
| - | * At time $t=\tau$, we get: $u_C(t) = U_q \cdot (1 - e^{- 1}) = U_q \cdot (1 - {{1}\over{e}}) = U_q \cdot ({{e-1}\over{e}}) = 0.63 \cdot U_q = 63\% \cdot U_q $ \\ **So the capacitor is charged to $63$% after one $\tau$. \\ \\ | + | * Zum Zeitpunkt |
| - | * At time $t=2 \cdot \tau$ we get: $u_C(t) = U_q \cdot (1 - e^{- 2}) = 86 \% \cdot U_q = (63 \% + (1-63 \%) \cdot 63 \% ) \cdot U_q$ \\ **So after each additional | + | * Zum Zeitpunkt |
| - | * **After about $t=5 \cdot \tau$, the result is a capacitor** charged to over $99\%$. \\ In real circuits, a charged capacitor can be assumed after $5 \cdot \tau$. | + | * **Nach etwa $t=5 \cdot \tau$ ergibt sich ein zu über $99~\%$ geladener Kondensator**. \\ In realen Schaltungen kann nach $5 \cdot \tau$ von einem geladenen Kondensator ausgegangen werden. |
| - | * The time constant | + | * die Zeitkonstante |
| - | * Plotting the voltage value corresponding to $63\%$ | + | * Eintragen des Spannungswertes welcher |
| - | * Plotting the tangent to the (voltage) charge curve at the time of the discharged capacitor. \\ This intersects a horizontal line at the level of the charging voltage at the point $t=\tau$ (see black and light blue lines in < | + | * Einzeichnen der Tangente zur (Spannungs)Ladekurve zum Zeitpunkt des entladenen Kondensators. \\ Diese schneidet eine horizontale Linie auf der Höhe der Ladespannung am Punkt $t=\tau$ (siehe schwarze und hellblaue Linien |
| </ | </ | ||
| - | ==== Discharging a capacitor at time t=0 ==== | + | ==== Entladen eines Kondensators zum Zeitpunkt |
| - | < | + | < |
| - | < | + | < |
| </ | </ | ||
| {{drawio> | {{drawio> | ||
| </ | </ | ||
| - | The following situation is considered for the discharge: | + | Für die Entladung wird folgende Situation betrachtet: |
| - | * A capacitor charged to voltage | + | * Ein auf die Spannung |
| - | * As a result, the full voltage | + | * Dadurch liegt anfangs die volle Spannung |
| - | * The initial discharge current is thus defined by the resistance: $i_C ={u_R}\over{R}$ | + | * Der anfängliche Entladestrom wird damit über den Widerstand definiert: $i_C ={{u_R}\over{R}}$ |
| - | * The discharging charges lower the voltage of the capacitor | + | * Durch die abfließenden Ladungen wird die Spannung des Kondensators |
| - | * Ideally, the capacitor is not fully discharged until $t \rightarrow \infty$. | + | * Idealerweise ist der Kondensator erst bei $t \rightarrow \infty$ |
| - | Also this process now is to put into formula | + | Auch dieser Ablauf soll nun im Einzelnen |
| - | By looking at the mesh, the general result is: the sum of the two voltages across the resistor and capacitor add up to zero. | + | Durch die Betrachtung der Masche ergibt sich allgemein: Die Summe der beiden Spannungen über Widerstand und Kondensator summieren sich auf Null. |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| Zeile 251: | Zeile 251: | ||
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | This gives $(7.1.3)$: | + | Damit ergibt sich mit $(7.1.3)$: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| Zeile 257: | Zeile 257: | ||
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | --> | + | --> |
| - | This result again represents a 1st order differential equation. \\ | + | Dieses Ergebnis stellt wieder eine Differentialgleichung 1. Ordnung dar. \\ |
| - | The appropriate approach to such a problem is: | + | Der passende Ansatz für ein solches Problem ist: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} | + | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | 0 &= R \cdot C \cdot {{d}\over{dt}}(\mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ | + | 0 &= R \cdot C \cdot {{\rm d}\over{{\rm d}t}}(\mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C}) + \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ |
| - | &= R \cdot C \cdot \mathcal{AB} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{A} \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} + \mathcal{C} \\ | + | &= R \cdot C \cdot |
| - | 0 - \mathcal{C} &= ( R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} ) \cdot e^{\mathcal{B}\cdot t} \\ | + | 0 - \mathcal{C} & |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | This equation must hold for every $t$. This is only possible if the left as well as the right term become equal to 0. \\ Thus: | + | Diese Gleichung muss für jedes $t$ gelten. Dies ist nur möglich wenn der linke als auch der rechte Term gleich |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \mathcal{C} = 0 \\ \ | + | \mathcal{C} = 0 \\ \\ |
| - | R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} &= 0 \quad \quad | : \mathcal{A} \quad | -1 \ | + | R \cdot C \cdot \mathcal{AB} + \mathcal{A} &= 0 \quad \quad |
| - | R \cdot C \cdot \mathcal{B} &= - 1 \\ | + | R \cdot C \cdot \mathcal{B} &= - 1 \\ |
| - | \mathcal{B} &= - {{1}\over{R C}} \\ | + | \mathcal{B} &= - {{1}\over{R C}} \\ |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | So it follows: | + | Es ergibt sich also: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} }} | + | u_C(t) = \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} }} |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | For the solution it must still hold that at time $t_0=0$ $u_C(t_0) = U_q$ just holds: | + | Für die Lösung muss noch gelten, dass zum Zeitpunkt |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | U_q &= \mathcal{A} \cdot e^{\large{0}} | + | U_q &= \mathcal{A} \cdot {\rm e}^{\large{0}} |
| U_q &= \mathcal{A} | U_q &= \mathcal{A} | ||
| \mathcal{A} &= U_q | \mathcal{A} &= U_q | ||
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| <-- | <-- | ||
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| {{drawio> | {{drawio> | ||
| Zeile 305: | Zeile 305: | ||
| - | And this results in: | + | Und damit ergibt sich: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) &= U_q \cdot e^{\large{- {{t}\over{\tau}}}} \quad \text{with} \quad \tau = R C | + | u_C(t) &= U_q \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{\tau}}}} \quad \text{mit} \quad \tau = R C |
| - | \end{align} | + | \end{align*} |
| - | And with $(7.1.3)$, $i_C$ becomes: | + | Und mit $(7.1.3)$ |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | i_C(t) &= - {{U_q}\over{R}} \cdot e^{\large{- {{t}\over{R C}} } } | + | i_C(t) &= - {{U_q}\over{R}} \cdot {\rm e}^{\large{- {{t}\over{R C}} } } |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | In < | + | In < |
| - | Since the current now flows out of the capacitor, the sign of $i_C$ is negative. | + | Da Der Strom nun aus dem Kondensator herausfließt, ist das Vorzeichen von $i_C$ negativ. |
| ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | ==== Periodic switching operations | + | ==== Periodische Schaltvorgänge |
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| </ | </ | ||
| - | In the simulation on the right, a periodic switching operation can be seen. The capacitor is periodically charged and discharged via the switch. | + | In der Simulation rechts ist ein periodischer Schaltvorgang zu sehen. Dabei wird über den Schalter der Kondensator periodisch ge- und entladen. |
| - | Three sliders are given in the simulation to change the resistance | + | Dabei sind in der Simulation drei Slider gegeben, um den Widerstand |
| - | In the simulation below, the voltage | + | Im Verlauf unten in der Simulation ist die Spannung |
| - | Exercises: | + | Aufgaben: |
| - | - Increase the the frequency to $f=10kHz$ using the appropriate slider. What is the change for $u_C$ and $i_C$? | + | - Erhöhen Sie die die Frequenz auf $f=10 ~\rm kHz$ über den entsprechenden Slider. Welche Veränderung ergibt sich für $u_C$ und $i_C$? |
| - | - Now increase the capacitance to $C=10 \mu F$ using the corresponding slider. What is the change for $u_C$ and $i_C$? | + | - Erhöhen Sie nun zusätzlich die Kapazität auf $C=10 ~\rm \mu F$ über den entsprechenden Slider. Welche Veränderung ergibt sich für $u_C$ und $i_C$? |
| - | - Now increase the resistance to $R= 1 k\Omega$ | + | - Erhöhen Sie nun zusätzlich den Widerstand auf $R= 1 ~\rm k\Omega$ |
| ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
| - | ===== 7.2 Energy of a capacitor | + | ===== 7.2 Energie eines Kondensators |
| < | < | ||
| - | === Goals === | + | === Ziele === |
| - | After this lesson, you should: | + | Nach dieser Lektion sollten Sie: |
| - | - Be able to calculate the energy content | + | - den Energieinhalt |
| - | - Be able to calculate the change in energy of a capacitor resulting from a change in voltage between the capacitor terminals. | + | - die Energieänderung eines Kondensators berechnen können, welche sich durch eine Änderung der Spannung zwischen den Kondensatoranschlüssen ergibt. |
| - | - Be able to calculate | + | - (Anfangs)Strom, (End)Spannung und Ladung beim Ladungsausgleich von mehreren Kondensatoren |
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| {{drawio> | {{drawio> | ||
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| - | Now the capacitor as energy storage is to be looked at more closely. This derivation is also explained | + | Es soll nun der Kondensator als Energiespeicher näher betrachtet werden. Diese Herleitung ist auch in [[https:// |
| - | According to the chapter | + | Laut des Kapitels |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | P={{{delta | + | P={{\Delta |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | For variable signals, the instantaneous power is given as: | + | Für veränderliche Signale ergibt sich die Momentanleistung als: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | p={dw}\over{dt}} = u \cdot i | + | p={{dw}\over{dt}} = u \cdot i |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | === Energy consideration of the capacitor | + | === Energiebetrachtung des Kondensator |
| - | Charging the capacitor at time $t_0 = 0$ results in $\Delta W = \Delta W_C$ for the stored energy at a later time $t_1 =t$: | + | Beim Laden des Kondensators zum Zeitpunkt |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \delta W_C = \int_{t_0}^{t_1} | + | \Delta W_C = \int_{t_0}^{t_1} |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | During the charging process | + | Beim Ladevorgang gilt |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | u_C(t) = U_q\cdot (1 - e^{ - {{t}\over{\tau}} }) \\ | + | u_C(t) = |
| - | i_C(t) = {{U_q}\over{R}} \cdot e^{ -{t}\over{\tau}} } \tag{7.2.2} | + | i_C(t) = {{U_q}\over{R}} \cdot {\rm e}^{ - {{t}\over{\tau}} } \tag{7.2.2} |
| - | \end{align}} | + | \end{align*} |
| - | In particular: | + | Insbesondere gilt: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | C = {{q(t)}\over{u_C(t)}} \quad & | + | C = {{q(t)}\over{u_C(t)}} \ quad & |
| - | i_C(t) = {{d q(t)}\over{dt}} \quad & | + | i_C(t) = {{{\rm d} q(t)}\over{{\rm d}t}} \quad & |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Thus, the stored energy from formula | + | Damit wird die gespeicherte Energie aus Formel |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \delta W_C &= \int_{0}^t u_C(t) \cdot C \cdot {{d u_C(t)}\over{dt}} dt \quad & | \text{ | + | \Delta W_C &= \int_{0}^t u_C(t) \cdot C \cdot {{{\rm d} u_C(t)}\over{{\rm d}t}} {\rm d}t \quad & | \text{ |
| - | &= \int_{U_0}^{U_1} u_C(t) \cdot C \cdot du_C \quad & | \text{ | + | &= \int_{U_0}^{U_1} u_C(t) \cdot C \cdot {\rm d}u_C |
| - | &= C \cdot \int_{U_0}^{U_1} u_C \, d u_C \ | + | &= C \cdot \int_{U_0}^{U_1} u_C \, {\rm d} u_C \\ |
| &= C \cdot \left[{{1}\over{2}} u_C^2 \right] _{U_0}^{U_1} \\ | &= C \cdot \left[{{1}\over{2}} u_C^2 \right] _{U_0}^{U_1} \\ | ||
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | \begin{align} | + | \begin{align*} |
| - | \boxed{\delta W_C= {{1}\over{2}} C \cdot (U_1^2-U_0^2)} \tag{7.2.3} | + | \boxed{\Delta |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Thus, for a fully discharged capacitor | + | Für einen vollständig entladenen Kondensator |
| - | === Energy consideration of resistance | + | === Energiebetrachtung des Widerstands |
| - | The converted energy can also be determined for the resistance: | + | Auch für den Widerstand lässt sich die umgesetzte Energie ermitteln: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \delta W_R = \int_{0}^t u_R \cdot i_R dt = \int_{0}^t R \cdot i_R \cdot i_R dt = R \cdot \int_{0}^t i_R^2 dt | + | \Delta W_R = \int_{0}^t u_R \cdot i_R {\rm d}t = \int_{0}^t R \cdot i_R \cdot i_R {\rm d}t |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | Since the current through the capacitor | + | Da der Strom durch den Kondensator |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \Delta W_R &= R \cdot \int_{0}^t \left( { {U_q}\over{R}} \cdot e^ { -{t}\over{\tau}} \right)^2 | + | \Delta W_R & |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | | + | |
| - | \end{align}} | + | \end{align*} |
| - | For $t \rightarrow \infty$ | + | Für $t \rightarrow \infty$ |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \delta W_R &= -{{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C} \cdot \left[ e^ { -{{2 \cdot t}\over{\tau}} \right]_{0}^{\infty} \\ | + | \Delta W_R & |
| - | & | + | & |
| - | \end{align} | + | \end{align*} |
| - | \begin{align} | + | \begin{align*} |
| - | \boxed{ \Delta W_R = {{1}\over{2}} \cdot{U_q^2}\cdot{C}} \tag{7.2.4} | + | \boxed{ \Delta W_R = {{1}\over{2}} \cdot {U_q^2}\cdot{C}} \tag{7.2.4} |
| - | \end{align}} | + | \end{align*} |
| - | This means that the energy converted at the resistor is independent of the resistance value (for an ideal constant voltage source | + | Das heißt, die am Widerstand umgesetzte Energie ist unabhängig vom Widerstandswert |
| - | Graphically, | + | Anschaulich lässt sich dieser scheinbarer Widerspruch so auflösen: Ein höherer Widerstand |
| - | In real applications, as mentioned | + | In realen Anwendungen sind, wie in vorherigen Kapiteln angesprochen, keine idealen Spannungsquellen möglich. Damit wird ohne einem reell verbauten Widerstand die Abwärme anteilig am Innenwiderstand der Quelle und am Innenwiderstand des Kondensators abgegeben. Der Innenwiderstand des Kondensators ist Frequenzabhängig, aber in der Regel kleiner als der Innenwiderstand der Quelle. |
| - | === Consideration of total energy expenditure | + | === Betrachtung des gesamten Energieumsatzes |
| - | In the previous considerations, the energy conversion during the complete charging process was also considered. It was found that the capacitor stores the energy | + | In den vorherigen Betrachtungen wurde auch der Energieumsatz beim kompletten Ladevorgang betrachtet. Dabei ergab sich, dass der Kondensator die Energie |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \delta W_0 &=\delta W_R + \delta W_C = {U_q^2}\cdot{C} | + | \Delta W_0 &=\Delta W_R + \Delta W_C = {U_q^2}\cdot{C} |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | This also follows via $(7.2.1)$: | + | Dies ergibt sich auch über $(7.2.1)$: |
| \begin{align*} | \begin{align*} | ||
| - | \Delta W_0 &= \int_{0}^{\infty} u_0 \cdot i_0 \cdot dt \quad | \quad u_0 = U_q \text{ | + | \Delta W_0 & |
| - | &= U_q \cdot \int_{0}^{\infty} i_C dt \ | + | |
| - | &= U_q \cdot \int_{0}^{\infty} {{dq}\over{dt}} dt \ | + | |
| - | &= U_q \cdot \int_{0}^Q | + | |
| - | &= U_q^2 \cdot C \ | + | |
| \end{align*} | \end{align*} | ||
| - | This means that only half of the energy emitted by the source is stored in the capacitor! Again, this doesn' | + | Das bedeutet, es wird nur die Hälfte der Energie, welche die Quelle abgibt, im Kondensator gespeichert! Das klingt wieder erstmal nicht wirklich nachvollziehbar. Auch hier hilft wieder der Blick auf kleine Ladungspakete, die von der idealen Quelle auf den Kondensator übertragen werden müssen. \\ < |
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| - | This can also be tested in the following simulation. | + | In folgender Simulation kann dies auch getestet werden. Neben dem bisher dargestellten |
| - | * left: Current | + | * links: Strom $u_C$ und Spannung |
| - | * middle: Instantaneous power $p_C = u_C \cdot i_C$ of the capacitor. | + | * mitte: Momentanleistung |
| - | * right: stored energy | + | * rechts: gespeicherte Energie |
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| - | ==== Exercises==== | + | ==== Aufgaben |
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| - | On the right you see a simulation containing the two capacitors | + | Rechts sehen Sie eine Simulation, welche die beiden Kondensatoren |
| - | At the beginning | + | Zu Beginn ist $C_1$ auf $10~\rm V$ und $C_2$ auf $0~\m V$ aufgeladen. mit den Schaltern |
| - | - the capacitances | + | - die Kapazitäten |
| - | - the capacitors | + | - die Kapazitäten |
| - | On the right side of the simulation there are some additional | + | Rechts in der Simulation sind zusätzlich noch einige |
| - | In the following, the charging and discharging of a capacitor is to be explained with this construction. | + | Im folgenden sollen nun mit diesem Aufbau das Laden und Entladen eines Kondensators erklärt werden. |
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| - | Under the electrical structure, the following quantities are shown over time: | + | Unter dem elektrischen Aufbau sind folgende Größen im Zeitverlauf dargestellt: |
| - | ^ Voltage | + | ^ Spannung |
| - | | Initially charged to $10V$ | Initially neutrally charged | + | | Anfänglich auf $10~\rm V$ aufgeladen |
| - | The capacitor | + | Der Kondensator |
| - | - Close the switch | + | - Schließen Sie den Schalter |
| - | - What do the voltages | + | - Was machen die Spannungen |
| - | - What the energies and the total energy? \\ How is this understandable with the previous total energy? | + | - Was die Energien und die Gesamtenergie? \\ Wie ist das mit der vorherigen Gesamtenergie verständlich? |
| - | - Open $S_2$ - the changeover switch | + | - Öffnen Sie den $S_2$ - der Wechselschalter |
| - | - What do the voltages | + | - Was machen die Spannungen |
| - | - What the energies and the total energy? \\ How is this understandable with the previous total energy? | + | - Was die Energien und die Gesamtenergie? \\ Wie ist das mit der vorherigen Gesamtenergie verständlich? |
| - | - Repeat | + | - Wiederholen Sie 1. und 2. mehrmals. Kann etwas bzgl. der Verteilung der Energie abgeleitet werden? |
| - | - Change the switch | + | - Wechseln Sie den Schalter |
| - | - What do the voltages | + | - Was machen die Spannungen |
| - | - What the energies and the total energy? \\ How is this understandable with the previous total energy? | + | - Was die Energien und die Gesamtenergie? \\ Wie ist das mit der vorherigen Gesamtenergie verständlich? |
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