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| elektrotechnik_1:lineare_quellen_und_zweipole [2020/11/01 19:06] – tfischer | elektrotechnik_1:lineare_quellen_und_zweipole [2023/09/19 23:32] (aktuell) – ↷ Links angepasst, weil Seiten im Wiki verschoben wurden 172.71.123.167 | ||
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| - | ====== 3. Lineare Quellen und Zweipole ====== | + | ====== 3 Lineare Quellen und Zweipole ====== |
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| Nach dieser Lektion sollten Sie: | Nach dieser Lektion sollten Sie: | ||
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| Wie sieht nun das Innere der linearen Quelle aus? In <imgref BildNr4> sind zwei mögliche, lineare Quellen dargestellt, | Wie sieht nun das Innere der linearen Quelle aus? In <imgref BildNr4> sind zwei mögliche, lineare Quellen dargestellt, | ||
| - | ==== lineare | + | ==== Lineare |
| - | Die lineare Spannungsquelle besteht aus einer Reihenschaltung einer idealen Spannungsquelle mit der Quellspannung $U_0$ (englisch: EMF für Elektro-Magnetic-Force) und dem Innenwiderstand $R_i$. | + | Die lineare Spannungsquelle besteht aus einer Reihenschaltung einer idealen Spannungsquelle mit der Quellspannung $U_0$ (englisch: EMF für ElektroMotive |
| Zur Ermittlung der Spannung außerhalb des aktiven Zweipols lässt sich das System als Spannungsteiler betrachten. Dabei gilt: | Zur Ermittlung der Spannung außerhalb des aktiven Zweipols lässt sich das System als Spannungsteiler betrachten. Dabei gilt: | ||
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| Ist das also der gesuchte Aufbau der linearen Quelle? Zur Überprüfung soll nun noch die zweite lineare Quelle betrachtet werden. | Ist das also der gesuchte Aufbau der linearen Quelle? Zur Überprüfung soll nun noch die zweite lineare Quelle betrachtet werden. | ||
| - | ==== lineare | + | ==== Lineare |
| Die lineare Stromquelle besteht nun aus einer __Parallelschaltung__ einer idealen Stromquelle mit dem Quellstrom $I_0$ und dem Innenwiderstand $R_i$, bzw. dem Innenleitwert $G_i = {{1}\over{R_i}}$. Zur Ermittlung der Spannung außerhalb des aktiven Zweipols lässt sich das System als Stromteiler betrachten. Dabei gilt: | Die lineare Stromquelle besteht nun aus einer __Parallelschaltung__ einer idealen Stromquelle mit dem Quellstrom $I_0$ und dem Innenwiderstand $R_i$, bzw. dem Innenleitwert $G_i = {{1}\over{R_i}}$. Zur Ermittlung der Spannung außerhalb des aktiven Zweipols lässt sich das System als Stromteiler betrachten. Dabei gilt: | ||
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| + | Es soll noch kurz auf die Variation der unterschiedlichen Quellparameter eingegangen werden. | ||
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| + | Bei der linearen Stromquelle kann der Quellstrom $I_0$ und der Innenleitwert $G_i$ variiert werden. Daraus ergeben sich die Geradenscharen in <imgref BildNr9> oben. Der Quellstrom verschiebt die Geraden, wobei die Steigung konstant bleibt. Der Innenleitwert ändert nur die Steigung; es ergibt sich eine Geradenschar um den Schnittpunkt $I_0 = I_{KS}$. \\ Da eine ideale Stromquelle stets den Quellstrom liefern soll, ist ihr Innenleitwert $G_i=0$. | ||
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| + | Bei der linearen Spannungsquelle kann die Quellspannung $U_0$ und der Innenwiderstand $R_i$ variiert werden. Daraus ergeben sich die Geradenscharen in <imgref BildNr9> unten. Die Quellspannung verschiebt die Geraden, wobei die Steigung konstant bleibt. Der Innenwiderstand ändert nur die Steigung; es ergibt sich eine Geradenschar um den Schnittpunkt $U_0 = U_{LL}$. \\ Da eine ideale Spannungsquelle stets die Quellspannung liefern soll, ist ihr Innenwiderstand $R_i=0$. | ||
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| ===== 3.2 Umwandlung beliebiger linearer Zweipole ===== | ===== 3.2 Umwandlung beliebiger linearer Zweipole ===== | ||
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| - | ==== Ziele ==== | + | === Ziele === |
| Nach dieser Lektion sollten Sie: | Nach dieser Lektion sollten Sie: | ||
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| In <imgref BildNr7> ist zu sehen, dass der durch das Ohmmeter (Widerstandsmessgerät) gemessene Innenwiderstand der linearen Stromquelle genau gleich dem der linearen Spannungsquelle ist. | In <imgref BildNr7> ist zu sehen, dass der durch das Ohmmeter (Widerstandsmessgerät) gemessene Innenwiderstand der linearen Stromquelle genau gleich dem der linearen Spannungsquelle ist. | ||
| - | Betrachtet man die Eigenschaften des Ohmmeters in der Simulation, stellt man fest, dass dort ein Messstrom zur Ermittlung des Widerstandswerts genutzt wird. Dieses Konzept wird im 2. Semester noch Teil der Elektrotechniklabor-Versuchs zu [[elektrotechnik_labor: | + | Betrachtet man die Eigenschaften des Ohmmeters in der Simulation, stellt man fest, dass dort ein Messstrom zur Ermittlung des Widerstandswerts genutzt wird. Dieses Konzept wird im 2. Semester noch Teil der Elektrotechniklabor-Versuchs zu [[elektrotechnik_labor: |
| Jedoch wird hier ein sehr großer Messstrom von $1A$ verwendet. Dieser könnte in realen Aufbauten zu hohen Spannungen bzw. zur Zerstörung von Komponenten führen. | Jedoch wird hier ein sehr großer Messstrom von $1A$ verwendet. Dieser könnte in realen Aufbauten zu hohen Spannungen bzw. zur Zerstörung von Komponenten führen. | ||
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| + | ==== Komplexeres Beispiel ==== | ||
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| Diese Erkenntnis kann nun aber auch bei komplizierteren Schaltungen genutzt werden. In <imgref BildNr9> ist eine solche Schaltung gezeichnet. Diese soll in einen gesuchten Ersatzleitwert $G_g$ und eine gesuchte Ersatzstromquelle mit $I_g$ umgewandelt werden. | Diese Erkenntnis kann nun aber auch bei komplizierteren Schaltungen genutzt werden. In <imgref BildNr9> ist eine solche Schaltung gezeichnet. Diese soll in einen gesuchten Ersatzleitwert $G_g$ und eine gesuchte Ersatzstromquelle mit $I_g$ umgewandelt werden. | ||
| - | Wichtig hierbei: Es können nur Zweipole über die Quellen-Dualität umgewandelt werden. D.h. es dürfen bei ausgewählten Teilbereichen der Schaltung nur 2 Knoten als Ausgangsklemmen agieren. Gibt es mehr Knoten ist die Umwandlung nicht möglich. | + | **Wichtig hierbei**: Es können nur Zweipole über die Quellen-Dualität umgewandelt werden. D.h. es dürfen bei ausgewählten Teilbereichen der Schaltung nur 2 Knoten als Ausgangsklemmen agieren. Gibt es mehr Knoten ist die Umwandlung nicht möglich. |
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| - Als erstem Schritt sollen Quellen so umgewandelt werden, dass nach der Umwandlung Widerständer zusammengefasst werden können. In diesem Beispiel geschieht dies durch: | - Als erstem Schritt sollen Quellen so umgewandelt werden, dass nach der Umwandlung Widerständer zusammengefasst werden können. In diesem Beispiel geschieht dies durch: | ||
| - die Umwandlung der linearen Spannungsquelle $R_1$ und $U_1$ in eine lineare Stromquelle mit $I_1={{U_1}\over{R_1}}$ und $R_1$ (bzw. $G_1={{1}\over{R_1}}$)\\ | - die Umwandlung der linearen Spannungsquelle $R_1$ und $U_1$ in eine lineare Stromquelle mit $I_1={{U_1}\over{R_1}}$ und $R_1$ (bzw. $G_1={{1}\over{R_1}}$)\\ | ||
| - | - die Umwandlung der linearen Stromquelle $R_4$ und $I_4$ in eine lineare Spannungsquelle mit $U_4={{I_4}\cdot{R_4}}$ und $R_4$ \\ \\ \\ \\ | + | - die Umwandlung der linearen Stromquelle $R_4$ und $I_4$ in eine lineare Spannungsquelle mit $U_4={{I_4}\cdot{R_4}}$ und $R_4$ \\ \\ \\ \\ \\ \\ |
| - | - Im zweiten Schritt kann die in 1. gebildete lineare Spannungsquelle $U_4$ mit $R_4$ mit dem Widerstand $R_3$ verbunden werden. Daraus kann wieder eine lineare Stromquelle erstellt werden. Diese hat nun einen Widerstand von $R_5 = R_3+R_4$ und eine ideale Stromquelle mit $I_5 = {{U_4}\over{R_3+R_4}}= {{{I_4}\cdot{R_4}}\over{R_3+R_4}} $. | + | - Im zweiten Schritt kann die in 1. gebildete lineare Spannungsquelle $U_4$ mit $R_4$ mit dem Widerstand $R_3$ verbunden werden. Daraus kann wieder eine lineare Stromquelle erstellt werden. Diese hat nun einen Widerstand von $R_5 = R_3+R_4$ und eine ideale Stromquelle mit $I_5 = {{U_4}\over{R_3+R_4}}= {{{I_4}\cdot{R_4}}\over{R_3+R_4}} $. \\ \\ \\ \\ \\ \\ |
| - Das nun entstandene Schaltbild ist eine Parallelschaltung von idealen Stromquellen und Widerständen. Damit lassen sich die Werte der idealen Ersatzstromquelle und des Ersatzwiderstands ermitteln: | - Das nun entstandene Schaltbild ist eine Parallelschaltung von idealen Stromquellen und Widerständen. Damit lassen sich die Werte der idealen Ersatzstromquelle und des Ersatzwiderstands ermitteln: | ||
| - | - ideale Ersatzstromquelle $I_g$: | + | - ideale Ersatzstromquelle $I_g$: |
| - | - Ersatzleitwert $G_g$: | + | - Ersatzleitwert $G_g$: |
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| + | <callout icon=" | ||
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| + | Jede beliebige Zusammenschaltung von __linearen__ Spannungsquellen, | ||
| + | * als eine einzelne, lineare Spannungsquelle \\ ({{wpde> | ||
| + | * als eine einzelne, lineare Stromquelle \\ ({{wpde> | ||
| + | darstellen. | ||
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| + | In <imgref BildNr63> | ||
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| + | ==== Vereinfachte Ermittlung des Innenwiderstands ==== | ||
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| + | <callout icon=" | ||
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| + | Ist nur der Ersatzwiderstand einer komplexeren Schaltung gesucht, so kann folgender Ansatz genutzt werden: | ||
| + | - Ersetze alle ideale Spannungsquellen durch einen Kurzschluss \\ (= Innenwiderstand der idealen Spannungsquelle) | ||
| + | - Ersetze alle ideale Stromquellen durch eine offenen Kontakt \\ (= Innenwiderstand der idealen Stromquelle) | ||
| + | - Füge die übriggebliebenen Widerstände über die Regeln zu Parallel- und Reihenschaltung zu einem Ersatzwiderstand zusammen. | ||
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| + | Die Ersatzschaltungen für die idealen Quellen sind über die Schaltbilder ersichtlich (siehe <imgref BildNr10> | ||
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| + | Damit kann auch der Ersatzwiderstand der obigen komplexen Schaltung schnell hergeleitet werden. \\ | ||
| + | Für den Quellstrom $I_0$ ideale Ersatzstromquelle bzw. der Quellspannung $U_0$ ideale Ersatzspannungsquelle kann diese Herleitung nicht genutzt werden. | ||
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| + | Der Grund, dass der Innenwiderstand in dieser einfachen Weise ermittelt werden kann, wird im nächsten Kapitel [[analyse_von_gleichstromnetzen# | ||
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| - | ==== Ziele ==== | + | === Ziele === |
| Nach dieser Lektion sollten Sie: | Nach dieser Lektion sollten Sie: | ||
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| - | ==== Video ==== | + | Leistung und Wirkungsgrad wurden bereits im [[grundlagen_und_grundbegriffe# |
| + | Gerade für die Bereiche der Nachrichten- und Energietechnik ist dies wichtig. Die Ziele sind dabei unterschiedlich: | ||
| + | - In __Energietechnik__ ist die Leistungsübertragung das Ziel. Die Leistung soll damit möglichst ohne Verluste abgegeben werden. | ||
| + | - In __Nachrichtentechnik__ ist die Informationsübertragung im Fokus. Damit z.B. aus einer Antenne das bestmögliche Signal entnommen werden kann, muss hier die maximale Leistung entnommen werden. | ||
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| + | Diese beiden Ziele scheinen zunächst das ähnlich zu klingen, sind aber deutlich zu unterscheiden, | ||
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| + | ==== Leistungsmessung | ||
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| + | Zunächst muss betrachtet werden, wie die Leistung bestimmt werden kann. Das Leistungsmessgerät (oder Wattmeter) besteht aus einem kombinierten Amperemeter und Voltmeter. | ||
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| + | In <imgref BildNr12> | ||
| + | In der Schaltung ist auch je eine Wattmeter für die (nicht außen messbare) abgegebene Leistung der idealen Quelle $P_Q$ und die aufgenommene Leistung des Verbrauchers $P_R$ eingezeichnet. | ||
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| + | ==== Leistung und Bezugsgrößen im Diagramm ==== | ||
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| + | Die Simulation in <imgref BildNr13> | ||
| + | * Die Schaltung mit linearer Spannungsquelle ($U_0$ und $R_i$), sowie einer ohmschen Last $R_L$. | ||
| + | * Einem nachgebildeten Wattmeter, wobei das Amperemeter durch ein Messwiderstand $R_S$ (englisch: Shunt) und eine Spannungsmessung für $U_S$ umgesetzt ist. Die Leistung ist dann: $P_L = {{1}\over{R_S}}\cdot U_S \cdot U_L$. | ||
| + | * im Oszilloskop-Bereich (unten) | ||
| + | * Links ist ist die Leistung '' | ||
| + | * Rechts ist das bereits bekannte Strom-Spannungs-Diagramm der aktuellen Werte dargestellt. | ||
| + | * Den Schieberegler '' | ||
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| + | Versuchen Sie nun in der Simulation den Wert des Lastwiderstands $R_L$ (Schieberegler) so zu variieren, dass sich die maximale Leistung einstellt. Welcher Widerstandswert stellt sich ein? | ||
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| + | <WRAP right> | ||
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| + | {{drawio> | ||
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| + | <imgref BildNr14> | ||
| + | * Diagramm oben: Strom-Spannungs-Diagramm der linearen Spannungsquelle. | ||
| + | * Diagramm mittig: Quellenleistung $P_Q$ und Verbraucherleistung $P_L$ über abgegebene Spannung $U_L$ | ||
| + | * Diagramm unten: Bezugsgrößen über abgegebene Spannung $U_L$ | ||
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| + | Die beiden Leistungen sind wie folgt definiert: | ||
| + | * Quellenleistung: | ||
| + | * Verbraucherleistung: | ||
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| + | - Beide Leistungen $P_Q$ und $P_L$ sind ohne Stromfluss gleich 0. Die Quellenleistung wird maximal, bei maximalem Stromfluss, also wenn der Verbraucherwiderstand $R_L=0$. In diesem Fall fließt die gesamte Leistung über den internen Widerstand ab. Der Wirkungsgrad fällt auf $0\%$. Dies ist beispielsweise bei einer durch einen Draht kurzgeschlossenen Batterie der Fall. | ||
| + | - Wird der Verbraucherwiderstand gerade so groß wie der Innenwiderstand $R_L=R_i$, so ergibt sich ein Spannungsteiler bei dem die Verbraucherspannung gerade die halbe Leerlaufspannung wird: $U_L = {{1}\over{2}}\cdot U_{LL}$. Andererseits ist auch der Strom halb so groß, wie der Kurzschlussstrom $I_L=I_{KS}$, | ||
| + | - Wird der Verbraucherwiderstand hochohmig $R_L\rightarrow\infty$, | ||
| + | |||
| + | Der ganze Zusammenhang kann in einer [[https:// | ||
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| + | ==== Die Bezugsgrößen Wirkungsgrad und Ausnutzungsgrad ==== | ||
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| + | Um das untere Diagramm in <imgref BildNr14> | ||
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| + | Der **Wirkungsgrad** $\eta$ beschreibt die abgegebene Leistung (Verbraucherleistung) in Verhältnis zur zugeführten Leistung (Leistung der idealen Quelle): | ||
| + | \begin{align*}\eta = {{P_{ab}}\over{P_{zu}}} = {{R_L\cdot I_L^2}\over{(R_L+R_i) \cdot I_L^2}} | ||
| + | \quad \Rightarrow \quad \boxed{ \eta = {{R_L}\over{R_L+R_i}} } | ||
| + | \end{align*} | ||
| + | |||
| + | Der **Ausnutzungsgrad** $\varepsilon$ beschreibt die abgegebene Leistung in Verhältnis zur maximal möglichen Leistung der idealen Quelle. Dabei wird nicht (wie beim Wirkungsgrad) von der aktuell zugeführten Leistung ausgegangen, | ||
| + | \begin{align*}\varepsilon = {{P_{ab}}\over{P_{zu, | ||
| + | \quad \Rightarrow \quad \boxed{\varepsilon = {{R_L\cdot R_i } \over {(R_L+R_i)^2}} = {{R_L} \over {(R_L+R_i)}}\cdot {{R_i} \over {(R_L+R_i)}}} | ||
| + | \end{align*} | ||
| - | Erklärung | + | In der __Energietechnik__ ist eine Situation nahe an (1.) in <imgref BildNr14> gewünscht: Maximale Leistungsabgabe bei geringsten Verlusten am Innenwiderstand der Quelle. Der Innenwiderstand der Quelle sollte also im Vergleich zum Verbraucher niedrig sein $R_L \gg R_i $. Der Wirkungsgrad soll gegen $\eta \rightarrow 100\%$ gehen. |
| - | {{youtube>BJLlXUD6CsM}} | + | |
| + | In der __Nachrichtentechnik__ ist eine Situation eine andere und entspricht der Situation (2.): Es soll die maximale Leistung aus der Quelle entnommen werden, ohne Rücksicht auf die Verluste über den Innenwiderstand. Dazu wird der Innenwiderstand der Quelle (z.B. eines Empfängers) und des Verbrauchers (z.B. der nachgelagerten Auswertung) aufeinander abgestimmt. Dieser Fall wird **{{wpde> | ||
| + | Die Leistungsanpassung ist wird auch [[https:// | ||