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elektrotechnik_1:das_elektrostatische_feld [2020/12/06 05:58] – tfischerelektrotechnik_1:das_elektrostatische_feld [2023/09/19 22:28] (aktuell) – mexleadmin
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-====== 5. Das elektrostatische Feld ======+====== 5 Das elektrostatische Feld ======
  
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 Im ersten Kapitel hatten wir bereits die Ladung als zentrale Größe der Elektrizität betrachtet und als Vielfaches der Elementarladung verstanden. Die gegenseitige Kraftwirkung ([[Grundlagen_und_grundbegriffe#coulomb-kraft|die Coulomb-Kraft]]) wurde dort bereits hergeleitet. Diese soll nun näher erläutert werden.  Im ersten Kapitel hatten wir bereits die Ladung als zentrale Größe der Elektrizität betrachtet und als Vielfaches der Elementarladung verstanden. Die gegenseitige Kraftwirkung ([[Grundlagen_und_grundbegriffe#coulomb-kraft|die Coulomb-Kraft]]) wurde dort bereits hergeleitet. Diese soll nun näher erläutert werden. 
 +
  
 Zunächst aber eine Differenzierung verschiedener Begriffe: Zunächst aber eine Differenzierung verschiedener Begriffe:
   - **{{wpde>Elektrizität}}** beschreibt als Überbegriff alle Phänomene von bewegten und ruhenden Ladungen. \\ \\   - **{{wpde>Elektrizität}}** beschreibt als Überbegriff alle Phänomene von bewegten und ruhenden Ladungen. \\ \\
   - **{{wpde>Elektrostatik}}** beschreibt die Phänomene von ruhenden Ladungen und damit von sich zeitlich nicht verändernden elektrischen Feldern. Es gibt hier also keine Zeitabhängigkeit der elektrischen Größen. \\ Mathematisch gilt: ${{df}\over{dt}}=0$ für jede Funktion der elektrischen Größen. \\ \\   - **{{wpde>Elektrostatik}}** beschreibt die Phänomene von ruhenden Ladungen und damit von sich zeitlich nicht verändernden elektrischen Feldern. Es gibt hier also keine Zeitabhängigkeit der elektrischen Größen. \\ Mathematisch gilt: ${{df}\over{dt}}=0$ für jede Funktion der elektrischen Größen. \\ \\
-  - **{{wpde>Elektrodynamik}}** beschreibt die Phänomene von bewegten Ladungen. Damit umfass die Elektrodynamik sowohl sich sich zeitlich verändernde elektrische Felder, als auch magnetische Felder. Als Begründung für letzteres soll hier zunächst ausreichen, dass Magnetfelder auf einem Strom bzw. auf eine Ladungsbewegung beruhen. \\ Mathematisch gilt hier nicht mehr für jede Funktion der elektrischen Größen zwangsläufig, dass die Ableitung gleich null ist. \\ Die Elektrodynamik wird in diesem Kapitel nicht betrachtet und erst schrittweise in den folgenden Kapiteln und in [[:Elektrotechnik 2:start]] eingeführt.+  - **{{wpde>Elektrodynamik}}** beschreibt die Phänomene von bewegten Ladungen. Damit umfasst die Elektrodynamik sowohl sich sich zeitlich verändernde elektrische Felder, als auch magnetische Felder. Als Begründung für letzteres soll hier zunächst ausreichen, dass Magnetfelder auf einem Strom bzw. auf eine Ladungsbewegung beruhen. \\ Mathematisch gilt hier nicht mehr für jede Funktion der elektrischen Größen zwangsläufig, dass die Ableitung gleich null ist. \\ Die Elektrodynamik wird in diesem Kapitel nicht betrachtet und erst schrittweise in den folgenden Kapiteln und in [[:Elektrotechnik 2:start]] eingeführt. 
 + 
 +In diesem Kapitel wird nur die Elektrostatik betrachtet. Die Magnetfelder sind also hier zunächst außen vor.
  
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 Positionieren Sie bitte in der Simulation eine negative Ladung $Q$ in der Mitte und deaktivieren Sie elektrische Feld. Letzteres geschieht über den Haken rechts. Nun ist die Situation realitätsnahe, da eine Ladung auf dem ersten Blick keine Wirkung zeigt. Positionieren Sie bitte in der Simulation eine negative Ladung $Q$ in der Mitte und deaktivieren Sie elektrische Feld. Letzteres geschieht über den Haken rechts. Nun ist die Situation realitätsnahe, da eine Ladung auf dem ersten Blick keine Wirkung zeigt.
  
-Zur Wirkungsanalyse wird eine Probeladung $q$ in die Umgebung der vorhandenen Ladung $Q$ gebracht (in der Simulation wird die Probeladung "Sensoren" genannt). Dabei wird beobachtet, dass die Ladung $Q$ eine Kraft auf die Probeladung bewirkt. Diese Kraft kann an jeder Stelle des Raumes mit Betrag und Richtung ermittelt werden. Sie wirkt im Raum ähnlich wie die Gravitation. Die Beschreibung des durch die Ladung $Q$ geänderten Zustands im Raum wird mit Hilfe eines Feldes beschrieben.+Zur Wirkungsanalyse wird eine Probeladung $q$ in die Umgebung der vorhandenen Ladung $Q$ gebracht (in der Simulation wird die Probeladung "Sensoren" genannt). Dabei wird beobachtet, dass die Ladung $Q$ eine Kraft auf die Probeladung bewirkt. Diese Kraft kann an jeder Stelle des Raumes mit Betrag und Richtung ermittelt werden. Sie wirkt im Raum ähnlich wie die Gravitation. Die Beschreibung des durch die Ladung $Q$ geänderten Zustands im Raum wird mit Hilfe eines Feldes definiert.
  
 Der Begriff des Feldes soll nun kurz etwas näher betrachtet werden.  Der Begriff des Feldes soll nun kurz etwas näher betrachtet werden. 
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     - Die Ladung $Q$ verursacht das Feld im Raum     - Die Ladung $Q$ verursacht das Feld im Raum
     - Die Ladung $q$ im Raum spürt eine Kraft als Wirkung des Feldes.     - Die Ladung $q$ im Raum spürt eine Kraft als Wirkung des Feldes.
-    - Diese Unterscheidung wird in diesem Kapitel nochmals wichtig. \\ Auch bei der Elektrodynamik wird diese Unterscheidung deutlich: das Feld entspricht dort Photonen, also einer Wirkungsweitergabe mit der endlichen (Licht)geschwindigkeit $c$.+    - Diese Unterscheidung wird in diesem Kapitel nochmals wichtig. \\ Auch bei der Elektrodynamik mit hohen Frequenzen wird diese Unterscheidung deutlich: das Feld entspricht dort Photonen, also einer Wirkungsweitergabe mit der endlichen (Licht)geschwindigkeit $c$.
   - Wie bei den physikalische Größen, gibt es verschieden-dimensionale Felder:    - Wie bei den physikalische Größen, gibt es verschieden-dimensionale Felder: 
     - Bei einem **Skalarfeld** wird jedem Punkt im Raum eine einzelne Zahl zugeordnet. \\ z.B.      - Bei einem **Skalarfeld** wird jedem Punkt im Raum eine einzelne Zahl zugeordnet. \\ z.B. 
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 $E = {{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1} \over {r^2}} \quad$ mit $[E]={{[F]}\over{[q]}}=1 {{N}\over{As}}=1 {{N\cdot m}\over{As \cdot m}} = 1 {{V \cdot A \cdot s}\over{As \cdot m}} =  1 {{V}\over{m}}$ $E = {{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1} \over {r^2}} \quad$ mit $[E]={{[F]}\over{[q]}}=1 {{N}\over{As}}=1 {{N\cdot m}\over{As \cdot m}} = 1 {{V \cdot A \cdot s}\over{As \cdot m}} =  1 {{V}\over{m}}$
 </WRAP> </WRAP>
 +
 +Es ergibt sich also
 +\begin{align*}
 +\boxed{F_C = E \cdot q}
 +\end{align*}
 +
  
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-=== Aufgaben ===+==== Aufgaben ====
 <panel type="info" title="Aufgabe 5.1.1 Beispielaufgaben für das elektrische Feld"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> <panel type="info" title="Aufgabe 5.1.1 Beispielaufgaben für das elektrische Feld"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
  
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 </WRAP></WRAP></panel> </WRAP></WRAP></panel>
  
 +{{page>aufgabe_5.1.3_mit_Rechnung&nofooter}}
 +{{page>aufgabe_5.1.4&nofooter}}
 +{{page>aufgabe_5.1.5&nofooter}}
 ===== 5.2 Elektrische Ladung und Coulombkraft (reloaded) ===== ===== 5.2 Elektrische Ladung und Coulombkraft (reloaded) =====
  
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 </WRAP> </WRAP> </WRAP> </WRAP>
  
 +==== Aufgaben ====
  
 +{{page>aufgabe_5.2.1_mit_Rechnung&nofooter}}
 +{{page>aufgabe_5.2.2&nofooter}}
 +{{page>aufgabe_5.2.3&nofooter}}
 =====5.3 Arbeit und Potential ===== =====5.3 Arbeit und Potential =====
  
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 <callout type="danger" icon="true"> <callout type="danger" icon="true">
  
-Im Folgenden werden nur einige kurze Darstellung der Konzepte gegeben. +Im Folgenden werden nur einige kurze Darstellung der Konzepte gegeben. \\ 
-Eine ausführliche Erklärung findet sich im KIT-Brückenkurs. Es wird empfohlen diese selbstständig durchzuarbeiten.+Eine ausführliche Erklärung findet sich im KIT-Brückenkurs. Es wird empfohlen diese selbstständig durchzuarbeiten. \\ \\
 Insbesondere gilt dies für: Insbesondere gilt dies für:
   * Kapitel "[[https://lx3.mint-kolleg.kit.edu/onlinekursphysik/html/1.4.1/xcontent1.html|4.1.2 elektrisches Feld]]" **ab Video 221**  bis zum Ende der Aufgaben   * Kapitel "[[https://lx3.mint-kolleg.kit.edu/onlinekursphysik/html/1.4.1/xcontent1.html|4.1.2 elektrisches Feld]]" **ab Video 221**  bis zum Ende der Aufgaben
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-Für eine Bewegung parallel zu einer Feldlinie (also von $A$ nach $C$) ergibt sich $W_{AB}=0$. Diese Situation gleicht der Bewegung eines Gewichts im Schwerefeld auf gleicher Höhe. Auch dort wird damit keine Energie abgegeben oder aufgenommen.+Für eine Bewegung rechtwinklig zu einer Feldlinie (also von $A$ nach $C$) ergibt sich $W_{AC}=0$. Diese Situation gleicht der Bewegung eines Gewichts im Schwerefeld auf gleicher Höhe. Auch dort wird damit keine Energie abgegeben oder aufgenommen.
 Für einen beliebige Richtung durch das Feld muss der Anteil des Weges betrachtet, welcher parallel zu den Feldlinien durchlaufen wurde. Dieser ergibt sich aus dem Winkel $\alpha$ zwischen $\vec{F}$ und $\vec{s}$: Für einen beliebige Richtung durch das Feld muss der Anteil des Weges betrachtet, welcher parallel zu den Feldlinien durchlaufen wurde. Dieser ergibt sich aus dem Winkel $\alpha$ zwischen $\vec{F}$ und $\vec{s}$:
 \begin{align*} \begin{align*}
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 Dieses Konzept wurde bereits als Maschensatz in Schaltungen angewandt (siehe [[einfache_gleichstromkreise#der_maschensatz_2_kirchhoffsche_gleichung|Kapitel 2]]). Er gilt aber auch in anderen Strukturen und beliebigen elektrostatischen Feldern. Dieses Konzept wurde bereits als Maschensatz in Schaltungen angewandt (siehe [[einfache_gleichstromkreise#der_maschensatz_2_kirchhoffsche_gleichung|Kapitel 2]]). Er gilt aber auch in anderen Strukturen und beliebigen elektrostatischen Feldern.
 +
 +<callout>
 +
 +Die Gleichung $\varphi_{AB} =  \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{s}$ lässt sich je nach vorhandener Geometrie nutzen und anwenden. 
 +Als Beispiel wird hier die Situation einer Ladung, die sich im Inneren eines Kondensators von einer Elektrode zur anderen bewegt, betrachtet:
 +
 +\begin{align*}
 +\varphi_{AB} &=  \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{s} \quad && | \vec{E} \text{ und } d\vec{s} \text{ verlaufen parallel } \\
 +\varphi_{AB} &=  \int_{A}^{B} E \cdot ds  \quad && | \text{E=const.} \\
 +\varphi &=  E \cdot \int_{0}^{d} ds  \quad && | s \text{ beginnt bei der negativen Platte zu zählen. } d \text{ bezeichnet den Abstand zwischen beiden Platten }\\
 +\varphi &=  E \cdot d  \quad && | \varphi_{AB} \text{ entspricht der an den Kondensator angelegten Spannung } U \\
 +U &=  E \cdot d 
 +\end{align*}
 +
 +</callout>
 +
  
 <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:"> <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:">
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 <WRAP right> <WRAP right>
-<imgcaption BildNr99 | Höhenmeter als Vergleich zu > +<imgcaption BildNr99 | Angabe der Höhenlinien auf einer Karte> 
-{{elektrotechnik_1:hoehenmeteraufderlandkarte.jpg?200}}+{{elektrotechnik_1:hoehenmeteraufderlandkarte.jpg?400}}
 </imgcaption> </imgcaption>
 </WRAP> </WRAP>
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   * Äquipotentialflächen für ein 3-dimensionales Feld   * Äquipotentialflächen für ein 3-dimensionales Feld
  
-Dies entspricht im Schwerefeld einer Bewegung auf der gleichen Höhenlinie (vgl. <imgref BildNr99>). Bewegt man sich entlang der Höhenlinien so wird keine Arbeit verrichtet.+Dies entspricht im Schwerefeld einer Bewegung auf der gleichen Höhenlinie. Die Höhenlinien sind häufig in (Wander)Karten eingezeichnet, vgl. <imgref BildNr99>. Bewegt man sich entlang der Höhenlinien so wird keine Arbeit verrichtet. 
 + 
 +Die Äquipotentialflächen werden in der Regel mit einer festen Schrittweite gezeichnet, z.B. $1V$, $2V$, $3V$, ... . Da das elektrische Feld in der Nähe von Ladungen höher ist, sind dort auch Äquipotentialflächen enger zusammen. 
 +In <imgref BildNr98> sind die Äquipotentialflächen einer Punktladung dargestellt. 
 +<WRAP right> 
 +<imgcaption BildNr98 | Feldlinien und Äquipotentialflächen einer Punktladung> 
 +</imgcaption> \\ 
 +{{drawio>FeldlinienAequipotentialflaeche}} \\ 
 +</WRAP>
  
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 <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:"> <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:">
-  - Sitz einer influenzierten Ladung ist immer die Leiteroberfläche. Es ergibt sich damit eine Flächenladungsdichte $\varrho_F = {{Q}\over{A}}$+  - Sitz einer influenzierten Ladung ist immer die Leiteroberfläche. Es ergibt sich damit eine Flächenladungsdichte $\varrho_A = {{\Delta Q}\over{\Delta A}}$
   - Die Leiteroberfläche im elektrostatischen Feld ist stets eine Äquipotentialfläche. Damit entspringen und enden die Feldlinien immer senkrecht auf Leiteroberflächen.   - Die Leiteroberfläche im elektrostatischen Feld ist stets eine Äquipotentialfläche. Damit entspringen und enden die Feldlinien immer senkrecht auf Leiteroberflächen.
   - Das Leiterinnere ist immer feldfrei (Faraday-Effekt: Metallische Gehäuse schirmen elektrische Felder ab).   - Das Leiterinnere ist immer feldfrei (Faraday-Effekt: Metallische Gehäuse schirmen elektrische Felder ab).
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 </WRAP></WRAP></panel> </WRAP></WRAP></panel>
 +
 +{{page>aufgabe_5.4.2_mit_Rechnung&nofooter}}
 +{{page>aufgabe_5.4.3&nofooter}}
 +{{page>aufgabe_5.4.4&nofooter}}
 +
  
 =====5.5 Der elektrische Verschiebungsfluss und Gaußscher Satz der Elektrostatik ===== =====5.5 Der elektrische Verschiebungsfluss und Gaußscher Satz der Elektrostatik =====
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 </WRAP> </WRAP>
  
-Nun wollen wir die Situation an den beiden Platten im elektrostatischen Feld $\vec{E}$ noch etwas genauer betrachten. Dazu sollen die Platten zunächst getrennt in das Feld gebracht werden. Wie in <imgref BildNr12> links geschrieben wird die Influenz in einer einzelnen Platte nicht betrachtet. Vielmehr interessiert nun, was passiert, wenn die Platten zusammengebracht werden. In diesem Fall muss anschaulich gesprochen gerade für jede Feldlinie, welche auf dem Plattenpaar endet eine Einzelladung von der einen Platte zur anderen wechseln. Diese Fähigkeit Ladungen trennen (also Influenz erzeugen) zu können, ist eine weitere Fähigkeit des Raumes. +Nun wollen wir die Situation an den beiden leitfähigen Platten mit der Fläche $\Delta A$ im elektrostatischen Feld $\vec{E}$ im Vakuum noch etwas genauer betrachten. Dazu sollen die Platten zunächst getrennt in das Feld gebracht werden. Wie in <imgref BildNr12> links geschrieben wird die Influenz in einer einzelnen Platte nicht betrachtet. Vielmehr interessiert nun, was passiert, wenn die Platten zusammengebracht werden. In diesem Fall muss - anschaulich gesprochen - gerade für jede Feldlinie, welche auf dem Plattenpaar endet, eine Einzelladung von der einen Platte zur anderen wechseln. Diese Fähigkeit Ladungen trennen (also Influenz erzeugen) zu können, ist eine weitere Fähigkeit des Raumes. 
  
-In der bisherigen Anordnung (homogenes Feld, alle Flächen parallel zueinander) ist die so influenzierte Flächenladungsdichte $\varrho_F = {{Q}\over{A}}$ proportional zum äußeren Feld $E$. Es gilt:+In der bisherigen Anordnung (homogenes Feld, alle Flächen parallel zueinander) ist die so influenzierte Flächenladungsdichte $\varrho_A = {{\Delta Q}\over{\Delta A}}$ proportional zum äußeren Feld $E$. Es gilt:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-\varrho_F = {{Q}\over{A}} \sim E \\ +\varrho_A = {{\Delta Q}\over{\Delta A}} \sim E \\ 
-{{Q}\over{A}} =  \varepsilon_0 \cdot E+\varrho_A = {{\Delta Q}\over{\Delta A}} =  \varepsilon \cdot E
 \end{align*} \end{align*}
  
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 Beide stehen durch obige Gleichung im Zusammenhang.  Beide stehen durch obige Gleichung im Zusammenhang. 
 Es wird in späteren Unterkapiteln gezeigt, dass das verschiedene Einflüsse aus der gleichen Ursache des Feldes verschiedene Wirkung auf andere Ladungen erzeugen können. Es wird in späteren Unterkapiteln gezeigt, dass das verschiedene Einflüsse aus der gleichen Ursache des Feldes verschiedene Wirkung auf andere Ladungen erzeugen können.
 +
 +Die **Permittivität** (oder dielektrische Leitfähigkeit) $\varepsilon$ ergibt sich also als Proportionalitätskonstante zwischen $D$- und $E$-Feld. Der Umkehrwert ${{1}\over{\varepsilon}}$ ist ein Maß dafür wieviel Wirkung ($E$-Feld) aus der Ursache ($D$-Feld) an einem Punkt verfügbar ist. Im Vakuum ist $\varepsilon= \varepsilon_0$, der elektrischen Feldkonstante.
  
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 Bisher wurde nur ein homogenes Feld und eine Beobachtungsfläche rechtwinklig zu den Feldlinien betrachtet. Damit wurden nur Äquipotentialflächen (z.B. eine Metallfolie) betrachtet. Bisher wurde nur ein homogenes Feld und eine Beobachtungsfläche rechtwinklig zu den Feldlinien betrachtet. Damit wurden nur Äquipotentialflächen (z.B. eine Metallfolie) betrachtet.
-In dem Fall ergab sich, dass die Ladung gleich der Verschiebungsdichte auf der Fläche ist: $Q = D\cdot A$. +In dem Fall ergab sich, dass die Ladung gleich der Verschiebungsdichte auf der Fläche ist: $\Delta Q = D\cdot \Delta A$. 
  
 Diese Formel soll nun auf beliebige Flächen und inhomogene Felder erweitert werden.  Diese Formel soll nun auf beliebige Flächen und inhomogene Felder erweitert werden. 
-Wie auch bei dem Potential und anderen physikalischen Problemen soll hier wieder das Problem in kleinere Teilprobleme zerlegt, gelöst und dann aufsummiert werden. Dazu wird ein kleines Flächenelement $\Delta A = \Delta x \cdot \Delta y$ benötigt. Zusätzlich soll noch die Lage der Fläche im Raum berücksichtigt werden. Dies ist möglich wenn das Kreuzprodukt gewählt wird: $\Delta \vec{A} = \Delta \vec{x} \cdot \Delta \vec{y}$, da so die Flächennormale. Im Folgenden wird das Kreuzprodukt zur Rechnung relevant sein, wohl aber die Konsequenzen des Kreuzprodukts:+Wie auch bei dem Potential und anderen physikalischen Problemen soll hier wieder das Problem in kleinere Teilprobleme zerlegt, gelöst und dann aufsummiert werden. Dazu wird ein kleines Flächenelement $\Delta A = \Delta x \cdot \Delta y$ benötigt. Zusätzlich soll noch die Lage der Fläche im Raum berücksichtigt werden. Dies ist möglich wenn das Kreuzprodukt gewählt wird: $\Delta \vec{A} = \Delta \vec{x} \times \Delta \vec{y}$, da so die Flächennormale. Im Folgenden wird das Kreuzprodukt zur Rechnung relevant sein, wohl aber die Konsequenzen des Kreuzprodukts:
   * Der Betrag von $\Delta \vec{A}$ entspricht der Fläche $\Delta A$   * Der Betrag von $\Delta \vec{A}$ entspricht der Fläche $\Delta A$
   * Die Richtung von $\Delta \vec{A}$ steht senkrecht zur Fläche.    * Die Richtung von $\Delta \vec{A}$ steht senkrecht zur Fläche. 
Zeile 618: Zeile 665:
 \end{align*} \end{align*}
  
-Da die Ladung $Q$ in dieser Versuchsanordnung nicht vom Kondensator verschwinden kann und damit $D$ konstant bleibt, muss bei $\varepsilon_r>0$ das $E$-Feld kleiner werden. +Da die Ladung $Q$ in dieser Versuchsanordnung nicht vom Kondensator verschwinden kann und damit $D$ konstant bleibt, muss bei $\varepsilon_r>1$ das $E$-Feld kleiner werden. 
  
 <imgref BildNr14> ist hier vereinfacht gezeichnet: die ausrichtbaren Moleküle sind gleichmäßig über das Material verteilt und werden damit auch gleichmäßig ausgerichtet. Entsprechend wird das E-Feld gleichmäßig abgeschwächt. <imgref BildNr14> ist hier vereinfacht gezeichnet: die ausrichtbaren Moleküle sind gleichmäßig über das Material verteilt und werden damit auch gleichmäßig ausgerichtet. Entsprechend wird das E-Feld gleichmäßig abgeschwächt.
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 </callout> </callout>
  
-<WRAP right 20em>+<WRAP right 30em>
  
 <tabcaption tab01| relativen Permittivität> <tabcaption tab01| relativen Permittivität>
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 ====Durchschlagfestigkeit von Dielektrika ====  ====Durchschlagfestigkeit von Dielektrika ==== 
  
-<WRAP right 20em>+<WRAP right 30em>
  
 <tabcaption tab02| Durchschlagfestigkeit> <tabcaption tab02| Durchschlagfestigkeit>
Zeile 677: Zeile 724:
   * Wird eine maximale Feldstärke $E_0$ überschritten, wird die Isolierfähigkeit aufgehoben   * Wird eine maximale Feldstärke $E_0$ überschritten, wird die Isolierfähigkeit aufgehoben
     * Man sagt: Der Isolator schlägt durch. Dies bedeutet, dass ab dieser Feldstärke ein Strom durch den Isolator fließen kann     * Man sagt: Der Isolator schlägt durch. Dies bedeutet, dass ab dieser Feldstärke ein Strom durch den Isolator fließen kann
-    * Beispiele dafür sind: Blitz beim Gewitter, Zündfunke, Glimmlampe beim {{wpde>https://de.wikipedia.org/wiki/Spannungspr%C3%BCfer#Verl%C3%A4sslichkeit_und_Zul%C3%A4ssigkeit|Phasenprüfer}}+    * Beispiele dafür sind: Blitz beim Gewitter, Zündfunke, Glimmlampe beim {{wpde>Spannungsprüfer#Verlässlichkeit_und_Zulässigkeitt|Phasenprüfer}}
     * Die  maximale Feldstärke $E_0$ wird **Durchschlagfestigkeit** genannt     * Die  maximale Feldstärke $E_0$ wird **Durchschlagfestigkeit** genannt
     * $E_0$ ist vom Material (siehe <tabref tab02>), aber auch von anderen Faktoren abhängig (Temperatur, Feuchtigkeit, ...)     * $E_0$ ist vom Material (siehe <tabref tab02>), aber auch von anderen Faktoren abhängig (Temperatur, Feuchtigkeit, ...)
Zeile 688: Zeile 735:
 Überlegen Sie sich, was passiert wäre, wenn im genannten Gedankenexperiment (<imgref BildNr13>) die Platten nicht von der Spannungsquelle gelöst worden wären. Überlegen Sie sich, was passiert wäre, wenn im genannten Gedankenexperiment (<imgref BildNr13>) die Platten nicht von der Spannungsquelle gelöst worden wären.
  
-</WRAP></WRAP></panel> 
- 
-<panel type="info" title="Aufgabe 5.6.2 Kondensator mit Glasplatte"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> 
- 
-<WRAP right> 
-<imgcaption BildNr15 | Aufbau eines Kondensators mit Glasplatte> 
-</imgcaption> 
-{{drawio>KondensatorsMitGlasplatte}} 
-</WRAP> 
- 
-Zwei parallelen Kondensatorplatten stehen sich mit einem Abstand $d_K = 10mm$ gegenüber. An dem Kondensator liegt einer Spannung von $U = 3'000V$ an. Parallel zu den Kondensatorplatten befindet sich im Kondensator eine Glasplatte ($\varepsilon_{r,G}=8$) mit einer Dicke $d_G = 3mm$. 
- 
-  - Berechnen Sie die Teilspannungen $U_G$ im Glas und $U_L$ im Luftspalt. 
-  - Wie dick darf die Glasscheibe höchstens sein, wenn die Feldstärke $E_{0,G} =12 kV/cm$ nicht überschreiten darf. 
- 
-~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ 
 </WRAP></WRAP></panel> </WRAP></WRAP></panel>
  
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 ^^Form des Kondensators^Parameter^Gleichung für die Kapazität^ ^^Form des Kondensators^Parameter^Gleichung für die Kapazität^
 |Plattenkondensator| Fläche $A$ der Platte \\ Abstand $l$ zwischen den Platten | \begin{align*}C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot {{A}\over{l}} \end{align*}| |Plattenkondensator| Fläche $A$ der Platte \\ Abstand $l$ zwischen den Platten | \begin{align*}C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot {{A}\over{l}} \end{align*}|
-|Zylinderkondensator |Radius des Außenleiters $R_a$ \\ Radius des Innenleiters $R_i$ \\ Länge $l$| \begin{align*}C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot {{l}\over{ln({{R_a}\over{R_i}})}} \end{align*}|+|Zylinderkondensator |Radius des Außenleiters $R_a$ \\ Radius des Innenleiters $R_i$ \\ Länge $l$| \begin{align*}C =  \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot 2\pi {{l}\over{ln \left({{R_a}\over{R_i}}\right)}} \end{align*}|
 |Kugelkondensator |Radius des Außenkugelleiters $R_a$ \\ Radius des Innenkugelleiters $R_i$| \begin{align*}C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot 4 \pi {{R_i \cdot R_a}\over{R_a - R_i}} \end{align*}| |Kugelkondensator |Radius des Außenkugelleiters $R_a$ \\ Radius des Innenkugelleiters $R_i$| \begin{align*}C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot 4 \pi {{R_i \cdot R_a}\over{R_a - R_i}} \end{align*}|
  
Zeile 814: Zeile 845:
 ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
  
-<WRAP right 20em>+<WRAP right 30em>
 <imgcaption BildNr17 | Bauformen von Kondensatoren> <imgcaption BildNr17 | Bauformen von Kondensatoren>
- 
 {{elektrotechnik_1:kondensatorensmd.jpg}}{{elektrotechnik_1:kondensatorentht.jpg}} {{elektrotechnik_1:kondensatorensmd.jpg}}{{elektrotechnik_1:kondensatorentht.jpg}}
 </imgcaption> </imgcaption>
Zeile 868: Zeile 898:
 ====Reihenschaltung von Kondensatoren==== ====Reihenschaltung von Kondensatoren====
  
-<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=CQAgjCAMB0lwrFWAmZBmMbJgGzYCwAc+yAnIciGmiIvmgFADGIyA7JWGzqx+KZUhJs4aMniRk+UjNky2DMIQhEhYfPhCqqaHkKww4R48Z5ZwQwyKtgGAZV6cNjkKT1QQAMwCGAGwDOAKYeyAwA7lTErjzablDhWoRCcdrqmpAJ2tRmOIQ6egniPHFcxQUAbuDc+VVlHkL4QoiWSPAMAE61NeyU2fXQbQDmXX2lVLnxEWhRcciEeXEZU-C9ui59Sy5pW9W2ET2skHkHUmrMLqcX8O6GEGBiEuImxoz7fCd8WJq2LAdf68gWlZEMhoNJSBJnnA5oU+Ns0CtwM5NicjlREYC8hkAA7opyaBGUTHgeoMXGEw55CkHCCWMl49aI0ak5arHJUtabanvHmCWFE64XPgouECC5okW9QHrTkMAAerDAiDG6E4bFIWlYmgAwvLWGhOMotYbNN88rYFehNJcpNb6JqlKw9cguPqQWhrdNNVIQLrLWANWQ2PqzHBvTrnWssET8KG6OAqXr1MHAZx4CnIPHHQBHJPmAPB5OHBpakAAVT1ujTwbQ6vAeHD5crddwvUIGtwWfNzcD4kivbyZqdCqrrGltd7NDtTZHOCJhBrdbIJZ9FZHS7F00DEIdif93zm+rUGEbdmdrt0PCt4w104ASgwgA 600,600 noborder}}+<WRAP right>{{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0lwrFWAmZBmMbJgGzYCwAc+yAnIciGmiIvmgFADGIyA7JWGzqx+KZUhJs4aMniRk+UjNky2DMIQhEhYfPhCqqaHkKww4R48Z5ZwQwyKtgGAZV6cNjkKT1QQAMwCGAGwDOAKYeyAwA7lTErjzablDhWoRCcdrqmpAJ2tRmOIQ6egniPHFcxQUAbuDc+VVlHkL4QoiWSPAMAE61NeyU2fXQbQDmXX2lVLnxEWhRcciEeXEZU-C9ui59Sy5pW9W2ET2skHkHUmrMLqcX8O6GEGBiEuImxoz7fCd8WJq2LAdf68gWlZEMhoNJSBJnnA5oU+Ns0CtwM5NicjlREYC8hkAA7opyaBGUTHgeoMXGEw55CkHCCWMl49aI0ak5arHJUtabanvHmCWFE64XPgouECC5okW9QHrTkMAAerDAiDG6E4bFIWlYmgAwvLWGhOMotYbNN88rYFehNJcpNb6JqlKw9cguPqQWhrdNNVIQLrLWANWQ2PqzHBvTrnWssET8KG6OAqXr1MHAZx4CnIPHHQBHJPmAPB5OHBpakAAVT1ujTwbQ6vAeHD5crddwvUIGtwWfNzcD4kivbyZqdCqrrGltd7NDtTZHOCJhBrdbIJZ9FZHS7F00DEIdif93zm+rUGEbdmdrt0PCt4w104ASgwgA 600,600 noborder}}
 </WRAP> </WRAP>
  
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 ====Parallelschaltung von Kondensatoren==== ====Parallelschaltung von Kondensatoren====
  
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 </WRAP> </WRAP>
  
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 </callout> </callout>
  
-Bisher wurde nur davon ausgegangen, dass sich in einem Kondensator nur ein einziges Dielektrikum bzw. nur Vakuum befindet. Nun wird näher betrachtet, wie sich ein mehrschichtiges Dielektrikum auf die Kapazität auswirkt. Dabei sind zu unterscheiden + 
 +<WRAP right> 
 +<imgcaption BildNr18 | Typen der Schichtung in Kondensatoren> 
 +</imgcaption> 
 +{{drawio>SchichtungKondensatoren}} 
 +</WRAP> 
 + 
 +Bisher wurde nur davon ausgegangen, dass sich in einem Kondensator nur ein einziges Dielektrikum bzw. nur Vakuum befindet. Nun wird näher betrachtet, wie sich ein mehrschichtiger Aufbau zwischen den Platten auf die Kapazität auswirkt. Dabei bilden mehrere Dielektrika Grenzschichten zwischen einander. Es sind verschiedene Varianten zu unterscheiden (<imgref BildNr18>): 
 +  - **Querschichtung**: Es gibt unterschiedliche Dielektrika rechtwinklig zu den Feldlinien. \\ Die Grenzschichten befinden sich also parallel zu den Kondensatorplatten. 
 +  - **Längsschichtung**: Es gibt unterschiedliche Dielektrika parallel zu den Feldlinien. \\ Die Grenzschichten befinden sich also rechtwinklig zu den Kondensatorplatten. 
 +  - **beliebige Schichtung**: Die Grenzschichten sind gegenüber den Kondensatorplatten weder parallel noch rechtwinklig angeordnet. 
 + 
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ 
 + 
 +==== Querschichtung ==== 
 + 
 +<WRAP right 40em> 
 +<imgcaption BildNr19 | quergeschichteter Kondensator> 
 +</imgcaption> 
 +{{drawio>QuerschichtungKondensator}} 
 +</WRAP> 
 + 
 +Zunächst wird die Situation betrachtet, dass die Grenzschichten parallel zu den Elektrodenflächen liegen. Von außen wird eine Spannung $U$ an den Aufbau angelegt. \\ 
 +Die Schichtung ist nun parallel zu Äquipotentialflächen. Insbesondere sind dann auch die Grenzschichten Äquipotentialflächen. \\ 
 +Gedanklich lassen sich die Grenzschichten also durch eine infinitesimal dünne Leiterschicht (Metallfolie) ersetzen. Die Spannung $U$ kann dann aufgeteilt werden in mehrere Teilbereiche:  
 + 
 +\begin{align*} 
 +U = \int \limits_{gesamter \\ Innen- \\ bereich} \! \! \vec{E} \cdot d \vec{s} =  E_1 \cdot d_1 + E_2 \cdot d_2 + E_3 \cdot d_3  
 +\tag{5.9.1} 
 +\end{align*} 
 + 
 +Da es in den Dielektrika nur polarisierte Ladungen gibt und keine freien Ladungen ist zwischen den Elektroden das $\vec{D}$-Feld konstant. 
 + 
 +\begin{align*} 
 +Q = \iint_{A} \vec{D} \cdot d \vec{A} =  const.  
 +\end{align*} 
 + 
 +Nun ist in dem Aufbau auch die Fläche $A$ der Grenzschichten konstant. Damit gilt: 
 + 
 +\begin{align*} 
 +\vec{D_1} \cdot \vec{A} & = & \vec{D_2} \cdot \vec{A} & = & \vec{D_3} \cdot \vec{A} & \quad \quad \quad  & | \vec{D_k} & \parallel \vec{A} \\ 
 +     D_1  \cdot      A  & = &     D_2  \cdot      A   & = & D_3  \cdot      A       & \quad \quad \quad  & | \:\: A & = const. \\ 
 +     D_1                & = &     D_2                 & = & D_3                     & \quad \quad \quad  & | D_k & = \varepsilon_{rk} \varepsilon_0 \cdot E_k    \\ 
 +     \varepsilon_{r1} \varepsilon_0 \cdot E_1  &=  &\varepsilon_{r2} \varepsilon_0 \cdot E_2 &= &\varepsilon_{r3} \varepsilon_0 \cdot E_3      \\ 
 +\end{align*} 
 +\begin{align*} 
 +\boxed{     \varepsilon_{r1}  \cdot E_1  =  \varepsilon_{r2}  \cdot E_2 = \varepsilon_{r3}  \cdot E_3           } 
 +\tag{5.9.2} 
 +\end{align*} 
 + 
 +Mit $(5.9.1)$ und $(5.9.2)$ lässt sich auch folgender Zusammenhang herleiten: 
 +\begin{align*} 
 +E_2 = & {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r2}}}\cdot E_1 , \quad E_3 = {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r3}}}\cdot E_1 \\  
 +\end{align*} 
 +\begin{align*} 
 +U =  & E_1 \cdot d_1 + & E_2 & \cdot d_2 + & E_3 & \cdot d_3 \\ 
 +U =  & E_1 \cdot d_1 + & {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r2}}}\cdot E_1 & \cdot d_2 + & {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r3}}}\cdot E_1 & \cdot d_3 \\ 
 +\end{align*} 
 +\begin{align*} 
 +U =  & E_1 \cdot (d_1 + {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r2}}} \cdot d_2 + {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r3}}}\cdot d_3 ) \\ 
 +E_1 = & {{U}\over{ d_1 + \large{{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r2}}} \cdot d_2 + \large{{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r3}}}\cdot d_3 }} 
 +\end{align*} 
 +\begin{align*} 
 +\boxed{ E_1 = {{U}\over{ \sum_{k=1}^n \large{{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{rk}}} \cdot d_k}} } \quad \text{und} \; E_k = {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{rk}}}\cdot E_1  
 +\end{align*} 
 + 
 + 
 +Die Situation lässt sich auch auf einen koaxialen Aufbau eines Zylinderkondensators oder konzentrischen Aufbau von Kugelkondensatoren übertragen. 
 + 
 +<callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:"> 
 +Bei der Querschichtung ergibt sich: 
 +  - Eine Querschichtung kann als Reihenschaltung von Teilkondensatoren mit den jeweiligen Dicken $d_k$ und Dielektrizitätszahlen $\varepsilon_{rk}$ betrachtet werden. 
 +  - Die Flussdichte ist im Kondensator konstant 
 +  - Betrachtet man die Felder __entlang der Feldlinie__ - also rechtwinklig zur Grenzfläche, bzw. die Normalkomponenten $E_n$ und $D_n$ der Felder - so gilt: 
 +    - Die Normalkomponente der elektrischen Feldstärke $E_n$ ändert sich an der Grenzfläche sprunghaft. 
 +    - Die Normalkomponente der Flussdichte $D_n$  ist an der Grenzfläche stetig: $D_{n1} = D_{n2}$ 
 +</callout> 
 + 
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ 
 + 
 +==== Längsschichtung ==== 
 + 
 +<WRAP right 40em> 
 +<imgcaption BildNr20 | längsgeschichteter Kondensator> 
 +</imgcaption> 
 +{{drawio>LängsschichtungKondensator}} 
 +</WRAP> 
 + 
 +Nun sollen die Grenzschichten rechtwinklig zu den Elektrodenflächen liegen. Von außen wird wieder eine Spannung $U$ an den Aufbau angelegt. \\ 
 +Die Schichtung ist nun rechtwinklig zu Äquipotentialflächen. Es liegt jedoch an jedem Dielektrikum die gleiche Spannung an. Es gilt somit: 
 + 
 +\begin{align*} 
 +U = \int \limits_{gesamter \\ Innen- \\ bereich} \! \! \vec{E} \cdot d \vec{s} =  E_1 \cdot d = E_2 \cdot d =  E_3 \cdot d  
 +\end{align*} 
 + 
 +Da $d$ für alle Dielektrika gleich ist, muss auch gelten: $\large{ E_1 = E_2 = E_3 = {{U}\over{d}} }$ 
 + 
 +mit der Verschiebungsflussdichte $D_k =  \varepsilon_{rk} \varepsilon_{0} \cdot E_k$ ergibt sich: 
 + 
 +\begin{align*} 
 +{ { D_1 } \over { \varepsilon_{r1} } } = { { D_2 } \over { \varepsilon_{r2} } } = { { D_3 } \over { \varepsilon_{r3} } } = { { D_k } \over { \varepsilon_{rk} } }  
 +\end{align*} 
 + 
 +Da die Verschiebungsflussdichte gerade der lokalen Flächenladungsdichte entspricht, wird die Ladung nicht mehr gleichmäßig über die Elektroden verteilt sein. \\ 
 +Dort wo eine stärkere Polarisierung möglich ist, wird dadurch im Dielektrikum das $E$-Feld gedämpft. für ein konstantes $E$-Feld müssen sich dort mehr Ladungen anreichern. \\ 
 +Konkrekt reichern sich gerade um die Dielektrizitätszahl $\varepsilon_{rk}$ mehr Ladungen an.  
 + 
 +Auch diese Situation lässt sich auch auf einen koaxialen Aufbau eines Zylinderkondensators oder konzentrischen Aufbau von Kugelkondensatoren übertragen. 
 + 
 +<callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:"> 
 +Bei der Längsschichtung ergibt sich: 
 +  - Eine Längsschichtung kann als Parallelschaltung von Teilkondensatoren mit den jeweiligen Flächen $A_k$ und Dielektrizitätszahlen $\varepsilon_{rk}$ betrachtet werden. 
 +  - Die elektrischen Feldstärke im Kondensator ist konstant. 
 +  - Betrachtet man die Felder __quer zu den Feldlinien__ - also rechtwinklig zur Grenzfläche, bzw. die Tangentialkomponenten $E_t$ und $D_t$ der Felder - so gilt: 
 +    - Die Tangentialkomponenten der Flussdichte $D_t$ ändert sich an der Grenzfläche sprunghaft. 
 +    - Die Tangentialkomponenten der elektrischen Feldstärke $E_t$ ist an der Grenzfläche stetig: $E_{t1} = E_{t2}$ 
 +</callout> 
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ 
 + 
 +==== beliebige Schichtung==== 
 + 
 +<WRAP right 30em> 
 +<imgcaption BildNr21 | beliebig geschichteter Kondensator> 
 +</imgcaption> 
 +{{drawio>beliebigeSchichtungKondensator}} 
 +</WRAP> 
 + 
 +Bei beliebiger Schichtung ist keine einfache Betrachtung mehr möglich. \\  
 +Es lassen sich aber aus den vorherigen Schichtungsarten einige Hinweise ableiten: 
 +  * Elektrische Feldstärke $\vec{E}$: 
 +    * Die Normalkomponente $E_{n}$ ist unstetig an der Grenzfläche: $\varepsilon_{r1} \cdot E_{n1} = \varepsilon_{r2} \cdot E_{n2}$ 
 +    * Die Tangentialkomponente $E_{t}$ ist stetig an der Grenzfläche: $  E_{t1} =  E_{t2}$ 
 +  * Elektrische Verschiebungsflussdichte $\vec{D}$: 
 +    * Die Normalkomponente $D_{n}$ ist stetig an der Grenzfläche: $  D_{n1} =  D_{n2}$ 
 +    * Die Tangentialkomponente $D_{t}$ ist unstetig an der Grenzfläche: $  {{1}\over \Large{\varepsilon_{r1}}}\cdot D_{t1} =  {{1}\over \Large{\varepsilon_{r2}}} \cdot D_{t1} $ 
 + 
 +Da gilt, dass $\vec{D} = \varepsilon_{0} \varepsilon_{r} \cdot \vec{E}$ muss die Richtung der Felder gleich sein. \\ 
 +Über die Felder lässt sich nun die Änderung des Winkels herleiten: 
 + 
 +\begin{align*} 
 +\boxed { { { tan \alpha_1 } \over { tan \alpha_2  } } = { { \varepsilon_{r1} } \over { \varepsilon_{r2}  } } } 
 +\end{align*} 
 + 
 +Die ermittelte Formel stellt das Brechungsgesetz der Feldlinie an Grenzflächen dar. Es gibt auch einen Hinweis darauf, dass bei elektromagnetischen Wellen (wie sichtbarem Licht) der Brechungsindex von der Dielektrizitätszahl abhängig sein könnte. Tatsächlich ist dies der Fall. In der hier dargestellten Rechnung wurde jedoch von elektrostatischen Feldern ausgegangen. Bei elektromagnetischen Wellen muss die Aufteilung der Energie auf beide Felder beachtet werden. Dies wird in diesem Kurs nicht näher betrachtet. 
 + 
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ 
  
 Unterschiedliche Dielektrika im Kondensator Unterschiedliche Dielektrika im Kondensator
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 {{youtube>0ZxbPGKA2Po}} {{youtube>0ZxbPGKA2Po}}
  
-===Aufgaben===+~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ 
 + 
 +====Aufgaben====
  
 <panel type="info" title="Aufgabe 5.9.1 Aufgabe zum geschichteten Kondensator"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> <panel type="info" title="Aufgabe 5.9.1 Aufgabe zum geschichteten Kondensator"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
Zeile 1006: Zeile 1184:
 </WRAP></WRAP></panel> </WRAP></WRAP></panel>
  
 +
 +<panel type="info" title="Aufgabe 5.9.2 Kondensator mit Glasplatte"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>
 +
 +<WRAP right>
 +<imgcaption BildNr15 | Aufbau eines Kondensators mit Glasplatte>
 +</imgcaption>
 +{{drawio>KondensatorsMitGlasplatte}}
 +</WRAP>
 +
 +Zwei parallelen Kondensatorplatten stehen sich mit einem Abstand $d_K = 10mm$ gegenüber. An dem Kondensator liegt einer Spannung von $U = 3'000V$ an. Parallel zu den Kondensatorplatten befindet sich im Kondensator eine Glasplatte ($\varepsilon_{r,G}=8$) mit einer Dicke $d_G = 3mm$.
 +
 +  - Berechnen Sie die Teilspannungen $U_G$ im Glas und $U_L$ im Luftspalt.
 +  - Wie dick darf die Glasscheibe höchstens sein, wenn die Feldstärke $E_{0,G} =12 kV/cm$ nicht überschreiten darf.
 +
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
 +</WRAP></WRAP></panel>
 +
 +{{page>aufgabe_5.9.3_mit_rechnung&nofooter}}
 +
 +
 +=====5.10 Zusammenfassung =====
 +
 +<WRAP right>
 +<imgcaption BildNr16 | Zusammenfassung der Elektrostatik>
 +</imgcaption>
 +{{drawio>ZusammenfassungElektrostatik}}
 +</WRAP>
 +
 +~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~
  
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