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elektrotechnik_1:das_elektrostatische_feld [2020/12/04 06:49] – tfischer | elektrotechnik_1:das_elektrostatische_feld [2023/09/19 22:28] (aktuell) – mexleadmin | ||
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- | ====== 5. Das elektrostatische Feld ====== | + | ====== 5 Das elektrostatische Feld ====== |
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Im ersten Kapitel hatten wir bereits die Ladung als zentrale Größe der Elektrizität betrachtet und als Vielfaches der Elementarladung verstanden. Die gegenseitige Kraftwirkung ([[Grundlagen_und_grundbegriffe# | Im ersten Kapitel hatten wir bereits die Ladung als zentrale Größe der Elektrizität betrachtet und als Vielfaches der Elementarladung verstanden. Die gegenseitige Kraftwirkung ([[Grundlagen_und_grundbegriffe# | ||
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Zunächst aber eine Differenzierung verschiedener Begriffe: | Zunächst aber eine Differenzierung verschiedener Begriffe: | ||
- **{{wpde> | - **{{wpde> | ||
- **{{wpde> | - **{{wpde> | ||
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+ | In diesem Kapitel wird nur die Elektrostatik betrachtet. Die Magnetfelder sind also hier zunächst außen vor. | ||
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Positionieren Sie bitte in der Simulation eine negative Ladung $Q$ in der Mitte und deaktivieren Sie elektrische Feld. Letzteres geschieht über den Haken rechts. Nun ist die Situation realitätsnahe, | Positionieren Sie bitte in der Simulation eine negative Ladung $Q$ in der Mitte und deaktivieren Sie elektrische Feld. Letzteres geschieht über den Haken rechts. Nun ist die Situation realitätsnahe, | ||
- | Zur Wirkungsanalyse wird eine Probeladung $q$ in die Umgebung der vorhandenen Ladung $Q$ gebracht (in der Simulation wird die Probeladung " | + | Zur Wirkungsanalyse wird eine Probeladung $q$ in die Umgebung der vorhandenen Ladung $Q$ gebracht (in der Simulation wird die Probeladung " |
Der Begriff des Feldes soll nun kurz etwas näher betrachtet werden. | Der Begriff des Feldes soll nun kurz etwas näher betrachtet werden. | ||
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- Die Ladung $Q$ verursacht das Feld im Raum | - Die Ladung $Q$ verursacht das Feld im Raum | ||
- Die Ladung $q$ im Raum spürt eine Kraft als Wirkung des Feldes. | - Die Ladung $q$ im Raum spürt eine Kraft als Wirkung des Feldes. | ||
- | - Diese Unterscheidung wird in diesem Kapitel nochmals wichtig. \\ Auch bei der Elektrodynamik wird diese Unterscheidung deutlich: das Feld entspricht dort Photonen, also einer Wirkungsweitergabe mit der endlichen (Licht)geschwindigkeit $c$. | + | - Diese Unterscheidung wird in diesem Kapitel nochmals wichtig. \\ Auch bei der Elektrodynamik |
- Wie bei den physikalische Größen, gibt es verschieden-dimensionale Felder: | - Wie bei den physikalische Größen, gibt es verschieden-dimensionale Felder: | ||
- Bei einem **Skalarfeld** wird jedem Punkt im Raum eine einzelne Zahl zugeordnet. \\ z.B. | - Bei einem **Skalarfeld** wird jedem Punkt im Raum eine einzelne Zahl zugeordnet. \\ z.B. | ||
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$E = {{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1} \over {r^2}} \quad$ mit $[E]={{[F]}\over{[q]}}=1 {{N}\over{As}}=1 {{N\cdot m}\over{As \cdot m}} = 1 {{V \cdot A \cdot s}\over{As \cdot m}} = 1 {{V}\over{m}}$ | $E = {{1} \over {4\pi\cdot\varepsilon}} \cdot {{Q_1} \over {r^2}} \quad$ mit $[E]={{[F]}\over{[q]}}=1 {{N}\over{As}}=1 {{N\cdot m}\over{As \cdot m}} = 1 {{V \cdot A \cdot s}\over{As \cdot m}} = 1 {{V}\over{m}}$ | ||
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+ | Es ergibt sich also | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \boxed{F_C = E \cdot q} | ||
+ | \end{align*} | ||
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<callout icon=" | <callout icon=" | ||
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+ | ==== Aufgaben ==== | ||
<panel type=" | <panel type=" | ||
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===== 5.2 Elektrische Ladung und Coulombkraft (reloaded) ===== | ===== 5.2 Elektrische Ladung und Coulombkraft (reloaded) ===== | ||
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+ | ==== Aufgaben ==== | ||
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=====5.3 Arbeit und Potential ===== | =====5.3 Arbeit und Potential ===== | ||
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<callout type=" | <callout type=" | ||
- | Im Folgenden werden nur einige kurze Darstellung der Konzepte gegeben. | + | Im Folgenden werden nur einige kurze Darstellung der Konzepte gegeben. |
- | Eine ausführliche Erklärung findet sich im KIT-Brückenkurs. Es wird empfohlen diese selbstständig durchzuarbeiten. | + | Eine ausführliche Erklärung findet sich im KIT-Brückenkurs. Es wird empfohlen diese selbstständig durchzuarbeiten. |
Insbesondere gilt dies für: | Insbesondere gilt dies für: | ||
* Kapitel " | * Kapitel " | ||
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W_{AB} = F_C \cdot s | W_{AB} = F_C \cdot s | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
- | Für eine Bewegung | + | |
+ | |||
+ | Für eine Bewegung | ||
Für einen beliebige Richtung durch das Feld muss der Anteil des Weges betrachtet, welcher parallel zu den Feldlinien durchlaufen wurde. Dieser ergibt sich aus dem Winkel $\alpha$ zwischen $\vec{F}$ und $\vec{s}$: | Für einen beliebige Richtung durch das Feld muss der Anteil des Weges betrachtet, welcher parallel zu den Feldlinien durchlaufen wurde. Dieser ergibt sich aus dem Winkel $\alpha$ zwischen $\vec{F}$ und $\vec{s}$: | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
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Dieses Konzept wurde bereits als Maschensatz in Schaltungen angewandt (siehe [[einfache_gleichstromkreise# | Dieses Konzept wurde bereits als Maschensatz in Schaltungen angewandt (siehe [[einfache_gleichstromkreise# | ||
+ | |||
+ | < | ||
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+ | Die Gleichung $\varphi_{AB} = \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{s}$ lässt sich je nach vorhandener Geometrie nutzen und anwenden. | ||
+ | Als Beispiel wird hier die Situation einer Ladung, die sich im Inneren eines Kondensators von einer Elektrode zur anderen bewegt, betrachtet: | ||
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+ | \begin{align*} | ||
+ | \varphi_{AB} & | ||
+ | \varphi_{AB} & | ||
+ | \varphi & | ||
+ | \varphi & | ||
+ | U & | ||
+ | \end{align*} | ||
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<callout icon=" | <callout icon=" | ||
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==== Äquipotentiallinien ==== | ==== Äquipotentiallinien ==== | ||
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+ | {{elektrotechnik_1: | ||
+ | </ | ||
+ | </ | ||
Wird eine Ladung $q$ senkrecht zu den Feldlinien, so erfährt sie weder Energiegewinn noch -verlust. Die Spannung entlang dieses Weges ist $0V$. Alle Punkte, zwischen denen die Spannung von $0V$ anliegt, liegen auf dem selben Potentialniveau. Die Verbindung dieser Punkte nennt man: | Wird eine Ladung $q$ senkrecht zu den Feldlinien, so erfährt sie weder Energiegewinn noch -verlust. Die Spannung entlang dieses Weges ist $0V$. Alle Punkte, zwischen denen die Spannung von $0V$ anliegt, liegen auf dem selben Potentialniveau. Die Verbindung dieser Punkte nennt man: | ||
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* Äquipotentialflächen für ein 3-dimensionales Feld | * Äquipotentialflächen für ein 3-dimensionales Feld | ||
- | Dies entspricht im Schwerefeld einer Bewegung auf der gleichen Höhenlinie. Bewegt man sich entlang der Höhenlinien so wird keine Arbeit verrichtet. | + | Dies entspricht im Schwerefeld einer Bewegung auf der gleichen Höhenlinie. Die Höhenlinien sind häufig in (Wander)Karten eingezeichnet, |
+ | Die Äquipotentialflächen werden in der Regel mit einer festen Schrittweite gezeichnet, z.B. $1V$, $2V$, $3V$, ... . Da das elektrische Feld in der Nähe von Ladungen höher ist, sind dort auch Äquipotentialflächen enger zusammen. | ||
+ | In <imgref BildNr98> | ||
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+ | {{drawio> | ||
+ | </ | ||
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==== Bezugspotential ==== | ==== Bezugspotential ==== | ||
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<callout icon=" | <callout icon=" | ||
- | - Sitz einer influenzierten Ladung ist immer die Leiteroberfläche. Es ergibt sich damit eine Flächenladungsdichte $\varrho_F | + | - Sitz einer influenzierten Ladung ist immer die Leiteroberfläche. Es ergibt sich damit eine Flächenladungsdichte $\varrho_A |
- Die Leiteroberfläche im elektrostatischen Feld ist stets eine Äquipotentialfläche. Damit entspringen und enden die Feldlinien immer senkrecht auf Leiteroberflächen. | - Die Leiteroberfläche im elektrostatischen Feld ist stets eine Äquipotentialfläche. Damit entspringen und enden die Feldlinien immer senkrecht auf Leiteroberflächen. | ||
- Das Leiterinnere ist immer feldfrei (Faraday-Effekt: | - Das Leiterinnere ist immer feldfrei (Faraday-Effekt: | ||
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Anwendung von Influenz: Schutzbeutel gegen elektrostatische Aufladung / Entladung (vgl. [[https:// | Anwendung von Influenz: Schutzbeutel gegen elektrostatische Aufladung / Entladung (vgl. [[https:// | ||
- | === Aufgabe 1 === | + | <panel type=" |
- | <WRAP group> | + | Im Simulationsprogramm von [[https:// |
- Öffnen Sie das Simulationsprogramm über den Link | - Öffnen Sie das Simulationsprogramm über den Link | ||
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- Ist im Inneren des Körpers ein elektrisches Feld vorhanden? Prüfen Sie dazu auch die Darstellung " | - Ist im Inneren des Körpers ein elektrisches Feld vorhanden? Prüfen Sie dazu auch die Darstellung " | ||
- Ist dieser Zylinder metallisch, halbleitend oder isolierend? | - Ist dieser Zylinder metallisch, halbleitend oder isolierend? | ||
- | </ | + | |
+ | </ | ||
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+ | {{page> | ||
+ | {{page> | ||
+ | {{page> | ||
=====5.5 Der elektrische Verschiebungsfluss und Gaußscher Satz der Elektrostatik ===== | =====5.5 Der elektrische Verschiebungsfluss und Gaußscher Satz der Elektrostatik ===== | ||
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</ | </ | ||
- | Nun wollen wir die Situation an den beiden Platten im elektrostatischen Feld $\vec{E}$ noch etwas genauer betrachten. Dazu sollen die Platten zunächst getrennt in das Feld gebracht werden. Wie in <imgref BildNr12> | + | Nun wollen wir die Situation an den beiden |
- | In der bisherigen Anordnung (homogenes Feld, alle Flächen parallel zueinander) ist die so influenzierte Flächenladungsdichte $\varrho_F | + | In der bisherigen Anordnung (homogenes Feld, alle Flächen parallel zueinander) ist die so influenzierte Flächenladungsdichte $\varrho_A |
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | \varrho_F | + | \varrho_A |
- | {{Q}\over{A}} = \varepsilon_0 | + | \varrho_A = {{\Delta |
\end{align*} | \end{align*} | ||
Zeile 484: | Zeile 539: | ||
Beide stehen durch obige Gleichung im Zusammenhang. | Beide stehen durch obige Gleichung im Zusammenhang. | ||
Es wird in späteren Unterkapiteln gezeigt, dass das verschiedene Einflüsse aus der gleichen Ursache des Feldes verschiedene Wirkung auf andere Ladungen erzeugen können. | Es wird in späteren Unterkapiteln gezeigt, dass das verschiedene Einflüsse aus der gleichen Ursache des Feldes verschiedene Wirkung auf andere Ladungen erzeugen können. | ||
+ | |||
+ | Die **Permittivität** (oder dielektrische Leitfähigkeit) $\varepsilon$ ergibt sich also als Proportionalitätskonstante zwischen $D$- und $E$-Feld. Der Umkehrwert ${{1}\over{\varepsilon}}$ ist ein Maß dafür wieviel Wirkung ($E$-Feld) aus der Ursache ($D$-Feld) an einem Punkt verfügbar ist. Im Vakuum ist $\varepsilon= \varepsilon_0$, | ||
~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
Zeile 489: | Zeile 546: | ||
Bisher wurde nur ein homogenes Feld und eine Beobachtungsfläche rechtwinklig zu den Feldlinien betrachtet. Damit wurden nur Äquipotentialflächen (z.B. eine Metallfolie) betrachtet. | Bisher wurde nur ein homogenes Feld und eine Beobachtungsfläche rechtwinklig zu den Feldlinien betrachtet. Damit wurden nur Äquipotentialflächen (z.B. eine Metallfolie) betrachtet. | ||
- | In dem Fall ergab sich, dass die Ladung gleich der Verschiebungsdichte auf der Fläche ist: $Q = D\cdot A$. | + | In dem Fall ergab sich, dass die Ladung gleich der Verschiebungsdichte auf der Fläche ist: $\Delta |
Diese Formel soll nun auf beliebige Flächen und inhomogene Felder erweitert werden. | Diese Formel soll nun auf beliebige Flächen und inhomogene Felder erweitert werden. | ||
- | Wie auch bei dem Potential und anderen physikalischen Problemen soll hier wieder das Problem in kleinere Teilprobleme zerlegt, gelöst und dann aufsummiert werden. Dazu wird ein kleines Flächenelement $\Delta A = \Delta x \cdot \Delta y$ benötigt. Zusätzlich soll noch die Lage der Fläche im Raum berücksichtigt werden. Dies ist möglich wenn das Kreuzprodukt gewählt wird: $\Delta \vec{A} = \Delta \vec{x} \cdot \Delta \vec{y}$, da so die Flächennormale. Im Folgenden wird das Kreuzprodukt zur Rechnung relevant sein, wohl aber die Konsequenzen des Kreuzprodukts: | + | Wie auch bei dem Potential und anderen physikalischen Problemen soll hier wieder das Problem in kleinere Teilprobleme zerlegt, gelöst und dann aufsummiert werden. Dazu wird ein kleines Flächenelement $\Delta A = \Delta x \cdot \Delta y$ benötigt. Zusätzlich soll noch die Lage der Fläche im Raum berücksichtigt werden. Dies ist möglich wenn das Kreuzprodukt gewählt wird: $\Delta \vec{A} = \Delta \vec{x} \times \Delta \vec{y}$, da so die Flächennormale. Im Folgenden wird das Kreuzprodukt zur Rechnung relevant sein, wohl aber die Konsequenzen des Kreuzprodukts: |
* Der Betrag von $\Delta \vec{A}$ entspricht der Fläche $\Delta A$ | * Der Betrag von $\Delta \vec{A}$ entspricht der Fläche $\Delta A$ | ||
* Die Richtung von $\Delta \vec{A}$ steht senkrecht zur Fläche. | * Die Richtung von $\Delta \vec{A}$ steht senkrecht zur Fläche. | ||
Zeile 608: | Zeile 665: | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
- | Da die Ladung $Q$ in dieser Versuchsanordnung nicht vom Kondensator verschwinden kann und damit $D$ konstant bleibt, muss bei $\varepsilon_r> | + | Da die Ladung $Q$ in dieser Versuchsanordnung nicht vom Kondensator verschwinden kann und damit $D$ konstant bleibt, muss bei $\varepsilon_r> |
<imgref BildNr14> | <imgref BildNr14> | ||
Zeile 626: | Zeile 683: | ||
</ | </ | ||
- | <WRAP right 20em> | + | <WRAP right 30em> |
< | < | ||
Zeile 648: | Zeile 705: | ||
====Durchschlagfestigkeit von Dielektrika ==== | ====Durchschlagfestigkeit von Dielektrika ==== | ||
- | <WRAP right 20em> | + | <WRAP right 30em> |
< | < | ||
Zeile 667: | Zeile 724: | ||
* Wird eine maximale Feldstärke $E_0$ überschritten, | * Wird eine maximale Feldstärke $E_0$ überschritten, | ||
* Man sagt: Der Isolator schlägt durch. Dies bedeutet, dass ab dieser Feldstärke ein Strom durch den Isolator fließen kann | * Man sagt: Der Isolator schlägt durch. Dies bedeutet, dass ab dieser Feldstärke ein Strom durch den Isolator fließen kann | ||
- | * Beispiele dafür sind: Blitz beim Gewitter, Zündfunke, Glimmlampe beim {{wpde>https:// | + | * Beispiele dafür sind: Blitz beim Gewitter, Zündfunke, Glimmlampe beim {{wpde>Spannungsprüfer#Verlässlichkeit_und_Zulässigkeitt|Phasenprüfer}} |
* Die maximale Feldstärke $E_0$ wird **Durchschlagfestigkeit** genannt | * Die maximale Feldstärke $E_0$ wird **Durchschlagfestigkeit** genannt | ||
* $E_0$ ist vom Material (siehe <tabref tab02>), aber auch von anderen Faktoren abhängig (Temperatur, | * $E_0$ ist vom Material (siehe <tabref tab02>), aber auch von anderen Faktoren abhängig (Temperatur, | ||
Zeile 678: | Zeile 735: | ||
Überlegen Sie sich, was passiert wäre, wenn im genannten Gedankenexperiment (<imgref BildNr13> | Überlegen Sie sich, was passiert wäre, wenn im genannten Gedankenexperiment (<imgref BildNr13> | ||
- | </ | ||
- | |||
- | <panel type=" | ||
- | |||
- | <WRAP right> | ||
- | < | ||
- | </ | ||
- | {{drawio> | ||
- | </ | ||
- | |||
- | Zwei parallelen Kondensatorplatten stehen sich mit einem Abstand $d_K = 10mm$ gegenüber. An dem Kondensator liegt einer Spannung von $U = 3' | ||
- | |||
- | - Berechnen Sie die Teilspannungen $U_G$ im Glas und $U_L$ im Luftspalt. | ||
- | - Wie dick darf die Glasscheibe höchstens sein, wenn die Feldstärke $E_{0,G} =12 kV/cm$ nicht überschreiten darf. | ||
- | |||
- | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
</ | </ | ||
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^^Form des Kondensators^Parameter^Gleichung für die Kapazität^ | ^^Form des Kondensators^Parameter^Gleichung für die Kapazität^ | ||
|Plattenkondensator| Fläche $A$ der Platte \\ Abstand $l$ zwischen den Platten | \begin{align*}C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot {{A}\over{l}} \end{align*}| | |Plattenkondensator| Fläche $A$ der Platte \\ Abstand $l$ zwischen den Platten | \begin{align*}C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot {{A}\over{l}} \end{align*}| | ||
- | |Zylinderkondensator |Radius des Außenleiters $R_a$ \\ Radius des Innenleiters $R_i$ \\ Länge $l$| \begin{align*}C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot {{l}\over{ln({{R_a}\over{R_i}})}} \end{align*}| | + | |Zylinderkondensator |Radius des Außenleiters $R_a$ \\ Radius des Innenleiters $R_i$ \\ Länge $l$| \begin{align*}C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot 2\pi {{l}\over{ln |
|Kugelkondensator |Radius des Außenkugelleiters $R_a$ \\ Radius des Innenkugelleiters $R_i$| \begin{align*}C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot 4 \pi {{R_i \cdot R_a}\over{R_a - R_i}} \end{align*}| | |Kugelkondensator |Radius des Außenkugelleiters $R_a$ \\ Radius des Innenkugelleiters $R_i$| \begin{align*}C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot 4 \pi {{R_i \cdot R_a}\over{R_a - R_i}} \end{align*}| | ||
Zeile 796: | Zeile 837: | ||
- Der Aufbau zeigt eine hohe Impulsbelastbarkeit und geringe interne ohmsche Verluste | - Der Aufbau zeigt eine hohe Impulsbelastbarkeit und geringe interne ohmsche Verluste | ||
- Bei elektrischen Durchschlägen ermöglicht die Folie eine " | - Bei elektrischen Durchschlägen ermöglicht die Folie eine " | ||
+ | - Bei einigen Herstellern wird dieser Typ MKS (__M__etallisierter Folien__k__ondensator, | ||
- **{{wpde> | - **{{wpde> | ||
- Als Dielektrikum ist - ähnlich dem Elko - sehr dünn. Im eigentlichen Sinne gibt es gar kein Dielektrikum. | - Als Dielektrikum ist - ähnlich dem Elko - sehr dünn. Im eigentlichen Sinne gibt es gar kein Dielektrikum. | ||
Zeile 801: | Zeile 843: | ||
- Superkondensatoren können sehr große Kapazitätswerte erreichen (bis in den Kilofarad-Bereich), | - Superkondensatoren können sehr große Kapazitätswerte erreichen (bis in den Kilofarad-Bereich), | ||
+ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
+ | |||
+ | <WRAP right 30em> | ||
+ | < | ||
+ | {{elektrotechnik_1: | ||
+ | </ | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | In <imgref BildNr17> | ||
+ | - oben zwei SMD Kondensatoren | ||
+ | - Links ein $100\mu F$ Elko | ||
+ | - Rechts ein $100nF$ MLCC in der häufig genutzten {{wpde> | ||
+ | - unten verschiedene THT Kondensatoren (__T__hrough __H__ole __T__echnology) | ||
+ | - ein großer Elko mit $10mF$ in Blau, der Positive Anschluss ist mit einem $+$ gekennzeichnet | ||
+ | - in der zweiten Reihe ist ein Kerko mit $33pF$ und zwei Folkos mit jeweils $1,5\mu F$ | ||
+ | - in der untersten Reihe ist ein Trimmkondensator mit etwa $30pF$ und ein Tantal-Elko und ein weiterer Elko zu sehen | ||
+ | Für die Bezeichnung des Kapazitätswerts eines Kondensatoren haben sich [[https:// | ||
+ | |||
+ | \\ \\ | ||
<WRAP centeralign> | <WRAP centeralign> | ||
Elektrolytkondensatoren können explodieren! | Elektrolytkondensatoren können explodieren! | ||
Zeile 810: | Zeile 871: | ||
- Es gibt polarisierte Kondensatoren. Bei diesen muss die Einbaurichtung und Bestromung beachtet werden, da es sonst zu einer Explosion kommen kann. | - Es gibt polarisierte Kondensatoren. Bei diesen muss die Einbaurichtung und Bestromung beachtet werden, da es sonst zu einer Explosion kommen kann. | ||
- Je nach Anwendung - und der damit geforderten Baugröße, Spannungsfestigkeit und Kapazität - werden unterschiedliche Typen an Kondensatoren eingesetzt | - Je nach Anwendung - und der damit geforderten Baugröße, Spannungsfestigkeit und Kapazität - werden unterschiedliche Typen an Kondensatoren eingesetzt | ||
- | - Die Berechnung der Kapazität ist i.A. __nicht__ über $C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot {{A}\over{l}} $. Der Kapazitätswert wird angegeben. | + | - Die Berechnung der Kapazität ist i.A. __nicht__ über $C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \cdot {{A}\over{l}} $ . Der Kapazitätswert wird angegeben. |
- | - Der Kapazitätswert schwankt häufig um mehr als $\pm 10%$. D.h. eine auf mehrere Nachkommastellen genaue Berechnung ist selten nötig/ | + | - Der Kapazitätswert schwankt häufig um mehr als $\pm 10\%$. D.h. eine auf mehrere Nachkommastellen genaue Berechnung ist selten nötig/ |
+ | |||
+ | - Der Ladestrom scheint durch den Kondensator fließen zu können, da die auf der einen Seite hinzugefügten Ladungen auf der anderen Seite entsprechend entgegengesetzte Ladungen induzieren. | ||
</ | </ | ||
Zeile 834: | Zeile 898: | ||
====Reihenschaltung von Kondensatoren==== | ====Reihenschaltung von Kondensatoren==== | ||
- | <WRAP right> | + | <WRAP right> |
</ | </ | ||
+ | Sind Kondensatoren in Reihe geschalten, so ist der Ladestrom $I$ in die einzelnen Kondensatoren $C_1 ... C_n$ gleich. | ||
+ | Damit sind auch die aufgenommenen Ladungen $\Delta Q$ gleich: | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \Delta Q = \Delta Q_1 = \Delta Q_2 = ... = \Delta Q_n | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Weiterhin bildet sich nach dem Laden eine Spannung über der Reihenschaltung, | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | U_q = U_1 + U_2 + ... + U_n = \sum_{k=1}^n U_k | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Es gilt für die Spannung $U_k = \Large{{Q_k}\over{C_k}}$. \\ | ||
+ | Sind alle Kondensatoren zu Beginn entladen, dann gilt: $U_k = \Large{{\Delta Q}\over{C_k}}$ \\ | ||
+ | Damit wird | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | U_q &= &U_1 &+ &U_2 &+ &... &+ &U_n &= \sum_{k=1}^n U_k \\ | ||
+ | U_q &= & | ||
+ | {{1}\over{C_{ges}}}\cdot \Delta Q &= &&&&&&&& | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Es ergibt sich also für die Reihenschaltung von Kondensatoren $C_1 ... C_n$ : | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \boxed{ {{1}\over{C_{ges}}} = \sum_{k=1}^n {{1}\over{C_k}} } | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \boxed{ \Delta Q_k = const.} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Für anfangs ungeladene Kondensatoren gilt (Spannungsteiler für Kondensatoren): | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \boxed{Q = Q_k} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \boxed{U_{ges} \cdot C_{ges} = U_{k} \cdot C_{k} } | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | In der Simulation rechts ist neben den parallelgeschalteten Kondensatoren $C_1$, $C_2$,$C_3$ auch eine ideale Spannungsquelle $U_q$, ein Widerstand $R$, ein Schalter $S$ und eine Lampe verbaut. | ||
+ | * Der Schalter $S$ ermöglicht es über die Spannungsquelle die Kondensatoren aufzuladen. | ||
+ | * Der Widerstand $R$ ist notwendig, da die Simulation kein instantanes Laden darstellen kann. Der Widerstand begrenzt den Ladestrom auf einen Maximalwert. \\ Weitere Details zu dem Widerstand werden im Kapitel [[Schaltvorgänge an RC-Kombinationen]] beschrieben. | ||
+ | * Über die Lampe können die Kondensatoren wieder entladen werden. | ||
- | {{youtube>9-Bp9Cvr7Jg}} | + | Diese Herleitung ist z.B. auch in [[https:// |
~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
====Parallelschaltung von Kondensatoren==== | ====Parallelschaltung von Kondensatoren==== | ||
- | {{youtube>fH-9pUeEpZU}} | + | <WRAP right>{{url>https:// |
+ | </ | ||
+ | Sind Kondensatoren parallel geschalten, so ist die Spannung $U$ über die einzelnen Kondensatoren $C_1 ... C_n$ gleich. | ||
+ | Es gilt also: | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | U_q = U_1 = U_2 = ... = U_n | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Weiterhin wird beim Laden die Gesamtladung $\Delta Q$ aus der Quelle auf die einzelnen Kondensatoren aufgeteilt. | ||
+ | Damit ergibt sich für die einzelnen aufgenommenen Ladungen: | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \Delta Q = \Delta Q_1 + \Delta Q_2 + ... + \Delta Q_n = \sum_{k=1}^n \Delta Q_k | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Sind alle Kondensatoren zu Beginn entladen, dann gilt: $Q_k = \Delta Q_k = C_k \cdot U$ \\ | ||
+ | Damit wird | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \Delta Q &= & Q_1 &+ & Q_2 &+ &... &+ & Q_n & | ||
+ | \Delta Q &= &C_1 \cdot U &+ &C_2 \cdot U &+ &... &+ &C_n \cdot U & | ||
+ | C_{ges} \cdot U &= &&&&&&&& | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Es ergibt sich also für die Parallelschaltung von Kondensatoren $C_1 ... C_n$ : | ||
+ | < | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \boxed{ C_{ges} = \sum_{k=1}^n C_k } | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \boxed{ U_k = const.} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Für anfangs ungeladene Kondensatoren gilt (Ladungsteiler für Kondensatoren): | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \boxed{\Delta Q = \sum_{k=1}^n Q_k} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \boxed{ {{Q_k}\over{C_k}} = {{\Delta Q}\over{C_{ges}}} } | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | In der Simulation rechts ist wieder neben den parallelgeschalteten Kondensatoren $C_1$, $C_2$,$C_3$ auch eine ideale Spannungsquelle $U_q$, ein Widerstand $R$, ein Schalter $S$ und eine Lampe verbaut. | ||
+ | |||
+ | Diese Herleitung ist z.B. auch in [[https:// | ||
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+ | ====Aufgaben==== | ||
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+ | siehe https:// | ||
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=====5.9 Grenzflächen von Dielektrika ===== | =====5.9 Grenzflächen von Dielektrika ===== | ||
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+ | Bisher wurde nur davon ausgegangen, | ||
+ | - **Querschichtung**: | ||
+ | - **Längsschichtung**: | ||
+ | - **beliebige Schichtung**: | ||
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+ | ==== Querschichtung ==== | ||
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+ | <WRAP right 40em> | ||
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+ | Zunächst wird die Situation betrachtet, dass die Grenzschichten parallel zu den Elektrodenflächen liegen. Von außen wird eine Spannung $U$ an den Aufbau angelegt. \\ | ||
+ | Die Schichtung ist nun parallel zu Äquipotentialflächen. Insbesondere sind dann auch die Grenzschichten Äquipotentialflächen. \\ | ||
+ | Gedanklich lassen sich die Grenzschichten also durch eine infinitesimal dünne Leiterschicht (Metallfolie) ersetzen. Die Spannung $U$ kann dann aufgeteilt werden in mehrere Teilbereiche: | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | U = \int \limits_{gesamter \\ Innen- \\ bereich} \! \! \vec{E} \cdot d \vec{s} = E_1 \cdot d_1 + E_2 \cdot d_2 + E_3 \cdot d_3 | ||
+ | \tag{5.9.1} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Da es in den Dielektrika nur polarisierte Ladungen gibt und keine freien Ladungen ist zwischen den Elektroden das $\vec{D}$-Feld konstant. | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | Q = \iint_{A} \vec{D} \cdot d \vec{A} = const. | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Nun ist in dem Aufbau auch die Fläche $A$ der Grenzschichten konstant. Damit gilt: | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \vec{D_1} \cdot \vec{A} & = & \vec{D_2} \cdot \vec{A} & = & \vec{D_3} \cdot \vec{A} & \quad \quad \quad & | \vec{D_k} & \parallel \vec{A} \\ | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \boxed{ | ||
+ | \tag{5.9.2} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Mit $(5.9.1)$ und $(5.9.2)$ lässt sich auch folgender Zusammenhang herleiten: | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | E_2 = & {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r2}}}\cdot E_1 , \quad E_3 = {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r3}}}\cdot E_1 \\ | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | U = & E_1 \cdot d_1 + & E_2 & \cdot d_2 + & E_3 & \cdot d_3 \\ | ||
+ | U = & E_1 \cdot d_1 + & {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r2}}}\cdot E_1 & \cdot d_2 + & {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r3}}}\cdot E_1 & \cdot d_3 \\ | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | U = & E_1 \cdot (d_1 + {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r2}}} \cdot d_2 + {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r3}}}\cdot d_3 ) \\ | ||
+ | E_1 = & {{U}\over{ d_1 + \large{{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r2}}} \cdot d_2 + \large{{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{r3}}}\cdot d_3 }} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \boxed{ E_1 = {{U}\over{ \sum_{k=1}^n \large{{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{rk}}} \cdot d_k}} } \quad \text{und} \; E_k = {{\varepsilon_{r1}}\over{\varepsilon_{rk}}}\cdot E_1 | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Die Situation lässt sich auch auf einen koaxialen Aufbau eines Zylinderkondensators oder konzentrischen Aufbau von Kugelkondensatoren übertragen. | ||
+ | |||
+ | <callout icon=" | ||
+ | Bei der Querschichtung ergibt sich: | ||
+ | - Eine Querschichtung kann als Reihenschaltung von Teilkondensatoren mit den jeweiligen Dicken $d_k$ und Dielektrizitätszahlen $\varepsilon_{rk}$ betrachtet werden. | ||
+ | - Die Flussdichte ist im Kondensator konstant | ||
+ | - Betrachtet man die Felder __entlang der Feldlinie__ - also rechtwinklig zur Grenzfläche, | ||
+ | - Die Normalkomponente der elektrischen Feldstärke $E_n$ ändert sich an der Grenzfläche sprunghaft. | ||
+ | - Die Normalkomponente der Flussdichte $D_n$ ist an der Grenzfläche stetig: $D_{n1} = D_{n2}$ | ||
+ | </ | ||
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+ | ==== Längsschichtung ==== | ||
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+ | <WRAP right 40em> | ||
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+ | {{drawio> | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Nun sollen die Grenzschichten rechtwinklig zu den Elektrodenflächen liegen. Von außen wird wieder eine Spannung $U$ an den Aufbau angelegt. \\ | ||
+ | Die Schichtung ist nun rechtwinklig zu Äquipotentialflächen. Es liegt jedoch an jedem Dielektrikum die gleiche Spannung an. Es gilt somit: | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | U = \int \limits_{gesamter \\ Innen- \\ bereich} \! \! \vec{E} \cdot d \vec{s} = E_1 \cdot d = E_2 \cdot d = E_3 \cdot d | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Da $d$ für alle Dielektrika gleich ist, muss auch gelten: $\large{ E_1 = E_2 = E_3 = {{U}\over{d}} }$ | ||
+ | |||
+ | mit der Verschiebungsflussdichte $D_k = \varepsilon_{rk} \varepsilon_{0} \cdot E_k$ ergibt sich: | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | { { D_1 } \over { \varepsilon_{r1} } } = { { D_2 } \over { \varepsilon_{r2} } } = { { D_3 } \over { \varepsilon_{r3} } } = { { D_k } \over { \varepsilon_{rk} } } | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Da die Verschiebungsflussdichte gerade der lokalen Flächenladungsdichte entspricht, wird die Ladung nicht mehr gleichmäßig über die Elektroden verteilt sein. \\ | ||
+ | Dort wo eine stärkere Polarisierung möglich ist, wird dadurch im Dielektrikum das $E$-Feld gedämpft. für ein konstantes $E$-Feld müssen sich dort mehr Ladungen anreichern. \\ | ||
+ | Konkrekt reichern sich gerade um die Dielektrizitätszahl $\varepsilon_{rk}$ mehr Ladungen an. | ||
+ | |||
+ | Auch diese Situation lässt sich auch auf einen koaxialen Aufbau eines Zylinderkondensators oder konzentrischen Aufbau von Kugelkondensatoren übertragen. | ||
+ | |||
+ | <callout icon=" | ||
+ | Bei der Längsschichtung ergibt sich: | ||
+ | - Eine Längsschichtung kann als Parallelschaltung von Teilkondensatoren mit den jeweiligen Flächen $A_k$ und Dielektrizitätszahlen $\varepsilon_{rk}$ betrachtet werden. | ||
+ | - Die elektrischen Feldstärke im Kondensator ist konstant. | ||
+ | - Betrachtet man die Felder __quer zu den Feldlinien__ - also rechtwinklig zur Grenzfläche, | ||
+ | - Die Tangentialkomponenten der Flussdichte $D_t$ ändert sich an der Grenzfläche sprunghaft. | ||
+ | - Die Tangentialkomponenten der elektrischen Feldstärke $E_t$ ist an der Grenzfläche stetig: $E_{t1} = E_{t2}$ | ||
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+ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ||
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+ | ==== beliebige Schichtung==== | ||
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+ | <WRAP right 30em> | ||
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+ | {{drawio> | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Bei beliebiger Schichtung ist keine einfache Betrachtung mehr möglich. \\ | ||
+ | Es lassen sich aber aus den vorherigen Schichtungsarten einige Hinweise ableiten: | ||
+ | * Elektrische Feldstärke $\vec{E}$: | ||
+ | * Die Normalkomponente $E_{n}$ ist unstetig an der Grenzfläche: | ||
+ | * Die Tangentialkomponente $E_{t}$ ist stetig an der Grenzfläche: | ||
+ | * Elektrische Verschiebungsflussdichte $\vec{D}$: | ||
+ | * Die Normalkomponente $D_{n}$ ist stetig an der Grenzfläche: | ||
+ | * Die Tangentialkomponente $D_{t}$ ist unstetig an der Grenzfläche: | ||
+ | |||
+ | Da gilt, dass $\vec{D} = \varepsilon_{0} \varepsilon_{r} \cdot \vec{E}$ muss die Richtung der Felder gleich sein. \\ | ||
+ | Über die Felder lässt sich nun die Änderung des Winkels herleiten: | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \boxed { { { tan \alpha_1 } \over { tan \alpha_2 | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | Die ermittelte Formel stellt das Brechungsgesetz der Feldlinie an Grenzflächen dar. Es gibt auch einen Hinweis darauf, dass bei elektromagnetischen Wellen (wie sichtbarem Licht) der Brechungsindex von der Dielektrizitätszahl abhängig sein könnte. Tatsächlich ist dies der Fall. In der hier dargestellten Rechnung wurde jedoch von elektrostatischen Feldern ausgegangen. Bei elektromagnetischen Wellen muss die Aufteilung der Energie auf beide Felder beachtet werden. Dies wird in diesem Kurs nicht näher betrachtet. | ||
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Unterschiedliche Dielektrika im Kondensator | Unterschiedliche Dielektrika im Kondensator | ||
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{{youtube> | {{youtube> | ||
+ | {{youtube> | ||
- | Feldlinien an Grenzflächen | + | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ |
- | {{youtube> | + | ====Aufgaben==== |
- | Aufgabe zum geschichteten Kondensator | + | <panel type=" |
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- | \\ \\ | ||
- | https:// | ||
- | === Aufgaben === | + | </ |
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+ | Zwei parallelen Kondensatorplatten stehen sich mit einem Abstand $d_K = 10mm$ gegenüber. An dem Kondensator liegt einer Spannung von $U = 3' | ||
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+ | - Berechnen Sie die Teilspannungen $U_G$ im Glas und $U_L$ im Luftspalt. | ||
+ | - Wie dick darf die Glasscheibe höchstens sein, wenn die Feldstärke $E_{0,G} =12 kV/cm$ nicht überschreiten darf. | ||
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+ | =====5.10 Zusammenfassung ===== | ||
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