elektrotechnik_1:aufgabe_7.2.6_mit_rechnung [MEXLE Wiki]

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<panel type="info" title="Aufgabe 7.2.6: Laden und Entladen von RC-Gliedern (Klausuraufgabe, ca 11% einer 60minütigen Klausur, WS2020)"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

<WRAP right>
{{elektrotechnik_1:schaltung_klws2020_3_2_1.jpg?400}}
</WRAP>

Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit  \\
  * $U = 10 V$
  * $I = 4 mA$
  * $R_1 = 100 \Omega, R_2 = 80 \Omega, R_3 = 50 \Omega, R_4 = 10 \Omega$
  * $C = 40 nF$
Zu Beginn ist der Kondensator entladen, alle Schalter sind geöffnet. 
Der Schalter S1 wird zum Zeitpunkt t = 0 s geschlossen. 

1. Bestimmen Sie die Zeitkonstante $\tau$ für diesen Ladevorgang. 

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  * Welche Ersatzschaltung ergibt sich durch die Schalterstellung?
  * Durch welche Größen lässt sich $\tau$ bestimmen?
  * Wodurch fließt der Ladestrom?
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Es ergibt sich eine Reihenschaltung von $R_1$, $R_2$ und $C$, welche durch $U$ gespeist wird.
Damit wird die Zeitkonstante $\tau$ zu:
\begin{align*}
\tau &= (R_1 + R_2) \cdot C \\
\tau &= 180 \Omega \cdot 40 nF
\end{align*}

</collapse>

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\begin{align*}
\tau = 7,2 µs
\end{align*}
 \\
</collapse>

2. Welche Spannung stellt sich am Kondensator $C$ zum Zeitpunkt $t=10 µs$ ein? 

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Es gilt:
\begin{align*}
U_C(t) = U \cdot (1 - e^{-t/\tau}) \\
U_C(t) = 10 V \cdot (1 - e^{-10 µs/7,2 µs}) 
\end{align*}

</collapse>

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\begin{align*}
U_C(t) = 7,506 V -> 7,5 V
\end{align*}
 \\
</collapse>

3. Wie hoch ist die Energie im Kondensator, wenn dieser vollständig geladen ist? 

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\begin{align*}
W_C &= \frac{1}{2}CU^2 \\
   &=  \frac{1}{2} \cdot 40nF \cdot (10V)^2 
\end{align*}

</collapse>

<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_3_Endergebnis">{{icon>eye}} Endergebnis</button><collapse id="Loesung_7_2_6_3_Endergebnis" collapsed="true">
\begin{align*}
W_C = 2 µJ
\end{align*}
 \\
</collapse>

4. Bestimmen Sie die neue Zeitkonstante, die wirksam ist, wenn nach dem vollständigen Laden der Schalter S1 geöffnet und gleichzeitig S2 geschlossen wird.

<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_4_Lösungsweg">{{icon>eye}} Lösungsweg</button><collapse id="Loesung_7_2_6_4_Lösungsweg" collapsed="true">

Hierbei entlädt sich der Kondensator $C$ über die in Reihe geschalteten Widerstände $R_2$ und $R_3$.
\begin{align*}
\tau &= (R_2 + R_3) \cdot C \\
\tau &= 130 \Omega \cdot 40 nF
\end{align*}

</collapse>

<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_4_Endergebnis">{{icon>eye}} Endergebnis</button><collapse id="Loesung_7_2_6_4_Endergebnis" collapsed="true">
\begin{align*}
\tau = 5,2 µs
\end{align*}
 \\
</collapse>

5. Nachdem der Kondensator vollständig entladen wurde, werden alle Schalter wieder geöffnet.
Der Schalter S4 wird für $t = 1μs$ geschlossen. \\
Welche Spannung stellt sich an C ein?

<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_7_2_6_5_Tipps">{{icon>eye}} Tipps</button><collapse id="Loesung_7_2_6_5_Tipps" collapsed="true">
  * Durch die Stromquelle ergibt sich ein kontinuierlicher Fluss an Ladungen in den Kondensator.
  * Die Widerstände auf dem Weg sind für den Strom in den Kondensator irrelevant. Sie erhöhen bei einer idealen Stromquelle nur die notwendige Spannung, um den Strom zu treiben. 
</collapse>

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Die Spannung $U_C$ ergibt sich allgemein über: $U_C = \frac{Q}{C}$. In diesem Fall erzeugt der konstante Strom I die Ladung $Q = \int I dt = I \cdot t$
\begin{align*}
U_C(t) &= \frac{Q}{C} \\
U_C(t) &= \frac{I \cdot t}{C} \\
U_C(1μs) &= \frac{4mA \cdot 1μs}{40nF} = \frac{4 \cdot 10^{-3}A \cdot 1\cdot 10^{-6}s}{40\cdot 10^{-9}F} \\

\end{align*}

</collapse>

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\begin{align*}
U_C(1μs) &= 1V \\
\end{align*}
 \\
</collapse>


</WRAP></WRAP></panel>