elektrotechnik_1:aufgabe_2.7.7_mit_rechnung [MEXLE Wiki]

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<panel type="info" title="Aufgabe 2.7.7 Vereinfachen von Schaltungen (Klausuraufgabe, ca 8% einer 60minütigen Klausur, WS2020)"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%>

<WRAP right>
{{elektrotechnik_1:schaltung_klws2020_2_1_1.jpg?400}}
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Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit \\
$R_1=10 \Omega$\\
$R_2=20 \Omega$\\
$R_3=5 \Omega$\\
und dem Schalter $S$. 

1. Bestimmen Sie den Gesamtwiderstand $R_{ges}$ zwischen A und B durch Zusammenfassen der Widerstände bei offenem Schalter $S$. 

<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_2_7_7_1_Tipps">{{icon>eye}} Tipps für die Lösung</button><collapse id="Loesung_2_7_7_1_Tipps" collapsed="true">
  * Wie lässt sich die Schaltung besser darstellen bzw. auseinanderziehen? 
  * Der Schalter sollt dabei durch eine offene Leitung ersetzt werden.
</collapse>

<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_2_7_7_1_Lösungsweg">{{icon>eye}} Lösungsweg</button><collapse id="Loesung_2_7_7_1_Lösungsweg" collapsed="true">

Zunächst bietet es sich an die Schaltung umzuformen, damit die eigentliche Struktur sichtbar wird. \\
Hierzu können die einzelnen Zweige farbig hervorgehoben und als "leitfähiges Gummiband" interpretiert werden. \\
Es ergibt sich somit:


{{elektrotechnik_1:schaltung_klws2020_2_1_1_loesung1.jpg?300}}
{{elektrotechnik_1:schaltung_klws2020_2_1_1_loesung2.jpg?250}}

Damit lassen sich $R_3$ und $R_3$ zu $R_{33} = 2 \cdot R_3 = R_1$ zusammenfassen und es ergibt sich so ein linker und ein rechter  Spannungsteiler. \\
Nun ist sichtbar, dass sich im linken und rechten Spannungsteiler das gleiche Potential am jeweiligen Abzweig, bzw. am Knoten K1 (grün) und K2 (pink). 

Der Gesamtwiderstand lässt sich also berechnen als $R_{ges} = (2 \cdot R_1)||(2 \cdot R_1)$. \\
Durch die Symmetrie können aber auch die Knoten K1 und K2 kurzgeschlossen werden. Es gilt also auch $R_{ges} = 2 \cdot \left( R_1||R_1 \right)$.

</collapse>

<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_2_7_7_1_Endergebnis">{{icon>eye}} Endergebnis</button><collapse id="Loesung_2_7_7_1_Endergebnis" collapsed="true">
\begin{align*}
R_{ges} &= 2 \cdot \left( 10 \Omega || 10 \Omega \right) = 10 \Omega 
\end{align*}
 \\
</collapse>

2. Welcher Gesamtwiderstand ergibt sich, wenn Schalter $S$ geschlossen wird?

<button size="xs" type="link" collapse="Loesung_5_1_3_2_Endergebnis">{{icon>eye}} Endergebnis</button><collapse id="Loesung_5_1_3_2_Endergebnis" collapsed="true">
Aufgrund der Symmetrie sind die Potentiale an K1 und K2 gleich. Damit fließt selbst bei geschlossenem Schalter kein Strom über den Widerstand $R_2$. \\ 
Der Widerstand bleibt also gleich. \\ \\
</collapse>

</WRAP></WRAP></panel>