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| electrical_engineering_1:non-ideal_sources_and_two_terminal_networks [2021/09/21 10:09] – ↷ Links angepasst weil Seiten im Wiki verschoben wurden 172.69.69.115 | electrical_engineering_1:non-ideal_sources_and_two_terminal_networks [2024/10/31 08:26] (aktuell) – mexleadmin |
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| ====== 3. Lineare Quellen und Zweipole ====== | ====== 3 Linear Sources and two-terminal Networks ====== |
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| | It is known from everyday life that battery voltages drop under heavy loads. This can be seen, for example, when turning the ignition key in winter: The load from the starter motor is sometimes so great that the low beam or radio briefly cuts out.\\ |
| | Another example is a $1.5~\rm V$ battery: If such a battery is short-circuited by a piece of wire, not so much current flows that the piece of wire glows, but noticeably less. |
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| Aus dem Alltag ist bekannt, dass Batteriespannungen bei starker Belastung einbrechen. Dies zeigt sich zum Beispiel bei beim Drehen des Zündschlüssels im Winter: Die Belastung durch den Startermotor ist teilweise so groß, dass das Abblendlicht oder Radio kurzzeitig aussetzt. \\ | So it makes sense here to develop the ideal voltage source concept further. In addition, we will see that this also opens up the possibility of converting and simplifying more complicated circuits. |
| Ein anderes Beispiel sind $1,5V$-Batterien: Wird eine solche Batterie durch ein Drahtstück kurzgeschlossen so fließt nicht soviel Strom, dass das Drahtstück glüht, sondern merklich weniger. | |
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| Es ist also sinnvoll hier das Konzept der idealen Spannungsquelle weiter zu entwickeln. | <WRAP> <imgcaption imageNo1 | passive two-terminal network> </imgcaption> {{drawio>PassiverZweipol.svg}} </WRAP> |
| Zusätzlich werden wir sehen, dass damit auch eine Möglichkeit eröffnet wird, kompliziertere Schaltungen umzuwandeln und zu vereinfachen. | |
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| <WRAP right> | First, the concept of the two-terminal from the chapter [[:electrical_engineering_1:preparation_properties_proportions#resistance_and_conductance|basics and basic concepts]] is to be expanded (<imgref imageNo1>). |
| <imgcaption BildNr1 | passiver Zweipol> | |
| </imgcaption> | |
| {{drawio>PassiverZweipol}} | |
| </WRAP> | |
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| Zunächst soll der Begriff des Zweipols aus dem Kapitel [[grundlagen_und_grundbegriffe?#widerstand_und_leitwert|Grundlagen und Grundbegriffe]] erweitert werden (<imgref BildNr1>). | |
| - Als **passiver Zweipol** wird im Folgenden ein Zweipol bezeichnet, welcher ausschließlich als Verbraucher wirkt. Damit gilt für den passiven Zweipol, dass die Strom-Spannungs-Kennlinie immer durch den Ursprung verläuft (siehe auch Kapiel [[einfache_gleichstromkreise#verbraucher|Einfache Stromkreise]]) | |
| - **Aktive Zweipole** hingegen wirken auch als Erzeuger elektrischer Energie. Damit verläuft die Strom-Spannungs-Kennlinie dort __nicht__ durch den Ursprung. Aktive Zweipole enthalten immer mindestens eine Quelle (d.h. mindestens eine Strom- oder Spannungsquelle). | |
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| | - As **passive two-terminal network** which acts exclusively as a consumer. Thus it is valid for the passive two-terminal network that the current-voltage-characteristic always runs through the origin (see also chapter [[:electrical_engineering_1:simple_circuits#consumer|simple circuits]]). |
| | - **Active two-terminal networks**, on the other hand, also act as generators of electrical energy. Thus, the current-voltage characteristic there __does not__ pass through the origin. Active two-terminal networks always contain at least one source (i.e. at least one current or voltage source). |
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| ===== 3.1 lineare Quellen ===== | ===== 3.1 Linear Sources ===== |
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| <callout> | <callout> |
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| === Ziele === | === Learning Objectives === |
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| Nach dieser Lektion sollten Sie: | By the end of this section, you will be able to: |
| | - describe the difference between an ideal and a linear voltage or current source. |
| - den Unterschied zwischen einer idealen und linearen Spannungs- bzw. Stromquelle beschreiben können. | - Know and apply the relationship between output voltage, source voltage $U_q$, and internal resistance $R_i$. |
| - den Zusammenhang zwischen abgegebener Spannung, Quellenspannung $U_q$ und Innenwiderstand $R_i$ kennen und anwenden können. | - know and apply the relationship between the current supplied, the source current $I_q$, and the internal conductance $G_i$. |
| - den Zusammenhang zwischen abgegebenem Strom, Quellenstrom $I_q$ und Innenleitwert $G_i$ kennen und anwenden können. | - represent the voltage curve of the linear (voltage/current) source using open-circuit voltage and short-circuit current. |
| - anhand von Leerlaufspannung und Kurzschlussstrom den Spannungsverlauf der linearen (Spannungs-/Strom)quelle darstellen können. | - determine the open-circuit voltage and the short-circuit current using two current/voltage measuring points. |
| - anhand zweier Strom/Spannungs-Messpunkte die Leerlaufspannung und den Kurzschlussstrom ermitteln können. | - explain the reason for the duality of current and voltage sources. |
| - den Grund für Dualität von Strom- und Spannungsquelle erklären können. | - convert a linear current source into a linear voltage source and vice versa. |
| - eine lineare Stromquelle in eine lineare Spannungsquelle und umgekehrt umwandeln können. | |
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| </callout> | </callout> |
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| ==== praktisches Beispiel einer realitätsnahen Quelle ==== | <WRAP> DC Voltage & Current Source Theory |
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| <WRAP right> | {{youtube>AQK7RyecVW0}} |
| <imgcaption BildNr2 | Batteriemodell mit Lastwiderstand> | |
| </imgcaption> \\ | |
| {{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3AWAnC1b0DYrQOwGYAOJSAVg0iSL0gxIjyzGhJATwChoQAhAQwBd+AUwBOATyjgQAJhkgAOgAcpkSQFpJqiACUhAZwCWe-gHsRAUQA2AW3l6wd6fJEA1E5f68A5kKu29kI5Q8nYkdoHhIXoIEfZhkQkBzOwIYFrkMpAE4DhY0jiyEHyCohKBSSzl5TF2TGEBkRXsykiMuSCtMgUqUOwA7uBIsvmFYMPdkP3g0tlg7WBDOViTIiB447LrMtIImtBgU51zWFvHvQOdI2sb5x153WBjXbKTXoM3C8ME2ZN4OFozJZ3IEQVSTPTXIFbaQ7TQgABmvEseiE7AhajAbSwGLysK0CKRKKmp3aOKBkwGZJhuypEymtM2N0mAA8QAQ8DlVEgWHMObswLsAJLyACO7FZaWGAumqmkc1Y4F2AFVReLWHk8BAyDI8Lt+bttGqSNlpIQQLQZKkFdKADLsExSUGsTEcjDQaQkIRqJBrd1en5yH0cM27MH7cCqXSGYy8AB2AGNUUA 600,500 noborder}} | |
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| </WRAP> | </WRAP> |
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| | ==== Practical Example of a realistic Source ==== |
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| Für die ideale Spannungsquelle wurde definiert, dass diese unabhängig von der Last stets die gleiche Spannung liefert. In <imgref BildNr2> wird im Gegensatz dazu ein Beispiel einer "realitätsnahen" Spannungsquelle als aktiven Zweipol dargestellt. \\ | For the ideal voltage source, it was defined that it always supplies the same voltage independent of the load. In <imgref imageNo2 >, in contrast, an example of a "realistic" voltage source is shown as an active two-terminal network. |
| - Dieser aktiven Zweipol erzeugt bei offener Schaltung eine Spannung von $1,5V$ und einen Strom von $0A$. | |
| - Wird nun ein Widerstand hinzugeschalten, so sinkt die Spannung, wohingegen der Strom steigt. Beispielsweise liegt am Widerstand von $2 \Omega$ eine Spannung von $1,2V$ an und ein Strom von $0,6A$ fließt. | |
| - Über den äußeren Schalter können die Anschlüsse des aktiven Zweipols direkt miteinander verbunden werden. Dann fließt ein Strom von $3A$ bei einer Spannung von $0V$. | |
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| Diese Erkenntnis soll nun mit einigen Fachtermini beschrieben werden: | - This active two-terminal network generates a voltage of $1.5~\rm V$ and a current of $0~\rm A$ when the circuit is open. |
| * Man spricht vom **Leerlauf**, wenn kein Strom aus einem aktiven Zweipol entnommen wird: $I_{LL}=0$. \\ Die Spannung entspricht der **Leerlaufspannung** $U=U_{LL}$ (englisch: OCV für Open Circuit Voltage). \\ Die Leerlaufleistung ist $P_{LL}=U_{LL} \cdot I_{LL} = 0$. | - If a resistor is added, the voltage decreases, and the current increases. For example, a voltage of $1.2~\rm V$ is applied to the resistor of $2 ~\Omega$, and a current of $0.6~A$ flows. |
| * Man spricht vom **Kurzschluss**, wenn die Klemmen des Zweipols widerstandslos überbrückt sind. Der dann fließende Strom wird als **Kurzschlussstrom** bezeichnet $I=I_{KS}$. \\ Die Kurzschlussspannung ist $U_{KS}=0V$. \\ Auch die Kurzschlussleistung ist $P_{KS}=U_{KS} \cdot I_{KS} = 0$. | - The terminals of the active two-terminal network can be directly connected via the outer switch. Then a current of $3~\rm A$ flows at a voltage of $0~\rm V$. |
| * Im Bereich zwischen Leerlauf und Kurzschluss gibt der aktive Zweipol Leistung an einen angeschlossenen Verbraucher ab. | |
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| Wichtig: Wie in Folgenden zu sehen sein wird, können durch den Kurzschlussstrom im Inneren des Zweipols erhebliche Verlustleistung und damit eine große Abwärme entstehen. Dafür ist nicht jeder reelle Zweipol ausgelegt. | <WRAP> <imgcaption imageNo2 | Battery model with load resistor> </imgcaption> \\ {{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3AWAnC1b0DYrTAZlwBwYCsGA7AEwK7G6RIIUj7jTEjUjECmAtGGABQAdxD8wTOgjEZpUqCLECmVSEonNI0yIIDO6lQjXimYMljUQAZgEMANru6Les8OYNuLemdNU-PUOAgtg5OAE7+8i6+RoEwQqJqUa7yOokB0QFpgfLKmtqCAA6BZhb5QWo6uGRJpu6W7hCVggDm4Bq5HbhlOtAgAEI2AC5DAMoAlgC2JSAqIAA6xUyVYswzAErcuuO6QwD2YQCidpPzumBnFPNhm9u7B8enurhnkNcAant2QzYt3I9nF7nKDzV5sV6g87waEQ2G6IyQsDguFvMHEQQIMBqAhqCiQAjtSRaIKDEYTaZvXQwdiUrHQuAgqlnBHncFM9nUxR5ToqSgKUS4OpYPKlBRAA noborder}} |
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| ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | |
| <WRAP right> | |
| <imgcaption BildNr3 | Strom-Spannungs-Kennlinie einer linearen Spannungsquelle> | |
| </imgcaption> | |
| {{drawio>IU_KennlinieLineareSpannungsquelle}} | |
| </WRAP> | </WRAP> |
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| Interessant ist nun die Strom-Spannungs-Kennlinie der Schaltung in <imgref BildNr2>. Diese ist in der Simulation unten zu sehen. Es ergibt sich ein linearer Verlauf (siehe <imgref BildNr3>). | This realization shall now be described with some technical terms: |
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| Rein mathematisch lässt sich der Verlauf über die Grundgleichung linearer Graphen mit dem y-Achsenabschnitt $I_{KS}$ und einer Steigung von $-{{I_{KS}}\over{U_{LL}}}$ darstellen: | * It is called **open circuit** when no current is drawn from an active two-terminal network: $I_{\rm SC}=0$. \\ The voltage corresponds to the **open circuit voltage** $U=U_{\rm OC}$ (German: //Leerlaufspannung// $U_{\rm LL}$). \\ The open circuit power is $P_{\rm OC}=U_{\rm OC} \cdot I_{\rm OC} = 0$. |
| | * The term **short circuit** is used when the terminals of the two-terminal network are bridged without resistance. The current then flowing is called the **short-circuit current** $I=I_{\rm SC}$ (German: //Kurzschlussstrom// $I_{\rm KS}$). \\ The short-circuit voltage is $U_{\rm SC}=0~\rm V$. \\ Also, the short-circuit power is $P_{\rm SC}=U_{\rm SC} \cdot I_{\rm SC} = 0$. |
| | * The active two-terminal network outputs power to a connected load in the region between no-load and short-circuit. |
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| \begin{align*} | Important: As seen in the following, the short-circuit current can cause considerable power loss inside the two-terminal network and thus a lot of waste heat. |
| I = I_{KS} - {{I_{KS}}\over{U_{LL}}}\cdot U \tag{3.1.1} \end{align*} | Not every real two-terminal network is designed for this. |
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| Andererseits kann die Formel auch nach $U$ aufgelöst werden: | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ <WRAP> <imgcaption imageNo3 | Current-voltage characteristic of a linear voltage source> </imgcaption> {{drawio>IU_KennlinieLineareSpannungsquelle.svg}} </WRAP> |
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| \begin{align*} | What is interesting now is the current-voltage characteristic of the circuit in <imgref imageNo2>. This can be seen in the simulation below. The result is a linear curve (see <imgref imageNo3 >). |
| U = U_{LL} - {{U_{LL}}\over{I_{KS}}}\cdot I \tag{3.1.2} \end{align*} | |
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| ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | From a purely mathematical point of view, the course can be represented by the basic equation of linear graphs with the y-axis intercept $I_{\rm SC}$ and a slope of $-{{I_{\rm SC}}\over{U_{\rm OC}}}$: |
| <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:"> | |
| Ergibt ein Zweipol einen linearen Verlauf zwischen $U_{LL}$ und $I_{KS}$ so wird er **lineare Quelle** genannt. Dieser Verlauf beschreibt in guter Näherung das Verhalten vieler realer Quellen. Häufig findet man synonym zum Begriff 'lineare Quelle' auch den Begriff 'reale (Spannungs)Quelle'. Dieser ist aber etwas irreführend, da es sich um ein vereinfachtes Modell für die Realität handelt. | \begin{align*} I = I_{\rm SC} - {{I_{\rm SC}}\over{U_{\rm OC}}}\cdot U \tag{3.1.1} \end{align*} |
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| | On the other hand, the formula can also be resolved to $U$: |
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| | \begin{align*} U = U_{\rm OC} - {{U_{\rm OC}}\over{I_{\rm SC}}}\cdot I \tag{3.1.2} \end{align*} |
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| | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Remember:"> |
| | If a two-terminal network results in a linear curve between $U_{\rm OC}$ and $I_{\rm SC}$, it is called a **linear source**. This curve describes in good approximation the behavior of many real sources. Often one finds synonymous to the term 'linear source' and also the term 'real (voltage) source'. However, this is somewhat misleading as it is a simplified model of reality. |
| </callout> | </callout> |
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| ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ |
| <WRAP right> | |
| <imgcaption BildNr4 | Ersatzschaltbilder von linearen Quellen> | So what does the inside of the linear source look like? In <imgref imageNo4> two possible linear sources are shown, which will be considered in the following. |
| </imgcaption> \\ | |
| {{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3AWAnC1b0DYqzAVgMz67IYYAcCyATBWSPlmNLiAvgFAAOIZk4A7Fl4gq-KuChR2AdxFUEIsSCRZR4yDPBhxYQXIW6sGgE7hVSsKvmSYYTcMNmBR+3zVP3G2cPcrF69gBzEABafHF3MIiyOg18fj4wbWceRL0IPg0AZydHS31JCAAzAEMAGyyAU3YcqJS6qmtEkFKK6tl8xzrHL1DwgoalXsGdcwCANwL3RoUZm1ZE5nmYXHZTOY3rHuxVgCNwSjM3JAgqJAUNfbBDhjoziFxIANNHBAc9fAobZk06t8SsP8pLI-v0-sJevlPgo6tCpLV+nDQeoJK0qjUnHD8mwUcVyuj4olknDhFibEE+uIgX8-L1hEC-EC6XwgdiIa56F8oV8TE5WYD+ploHYOsSuR8eZpXsJGezuKSvvSHOSAJYiBAsjCzDULTL0TTyFlwdV8OG9Q2cgwSi4GnUILUm1js2QW1l6JnsAAenPAnxEDAOEAMdDKKoAdpUSsZKgAdLIAZU4JTDYYArmHAlkAI6pyplMrVb0YcT4ZAiXT0XBU8Ah8OR6Nx+MAF2MAHsALY5vMFr0gcgCcRkfACFjBkAASRjWd7GH49H4SB4JbI1bAdEn0+9ZBYVGu4EgdwrY4AqlPe2RFwgtskr3OT2fvWBziIni-VJBRzWQAAlXtUSBzv+h5uEkrBfiqvZrnQCCgf+LJ7mOv7ev+VL-i+o5UMOY4QY+K7qsOT7aoCX7HpBz7yIucEiFWYHJBoyE0TBpy4HeCFfuOf64ICT4iMWrCNLRATIZRAYwf6l5fkh9Asmw-GsPatF0FJsnyA8w7yAoY4ADK9rJCA0QQrC4J+a4gDpraFJIMEYMOuCVCEdBINAghcVQdkhGAw5uDw+oWf0GSsJYtn2Y5zkYK57meRIEQKBwfpedgEBgHw36VFkKpZE2yYAMbVH6ZzfElKVpRlWVhrl7BAA 600,700 noborder}} | |
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| | <WRAP> <imgcaption imageNo4 | equivalent circuit images of linear sources> </imgcaption> \\ {{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0l3AWAnC1b0DYqzAVgMz67IYYAcCyATBWSPlmNLiAviLgKYC0YYAUAAcQZSOADsWUSCriq4KFH4B3GVQQy5IJFlnzIK8GHlhJajaawGATuF1awu9YpgDV0y3YlXD0vV-8DdzF-HU19fgBzEG58eX9Y+LI6MQN8cTE+EzMPMwhU-gBnL09Hc0UIADMAQwAbQs4imLjvZvjnTJAa+sbVMs9E1qC28sHAwzGHewiAN3L-KmdFjVTWTOYXbFx+W2X5509U5n4AI3BKOxCkCCokFdPzjQY6W4hcSAjbTwRcrHwKFzHVSDH6ZLCgpTAlpseQg6TDMr-DSDJFKYoogEglqdboNJqIgFlGEVLp1PHpTLGegA6So-JKaJwsQgsIFYKsaRhCHDaQQonw3xiOl-AE2Lx88HY7BuIzyOlmVEIswQrkC4S0mliPkufgASxkCC1GA06i1cEU+EMprWIUN1Puqmt8pFDoNRpNdu5Vs9vw5BQAHtTwP8ZJALAgIBY6LVdQA7TjVawAHUKMwA9rUAC7VSKcFOFNMAV2sAGNGoGMHLkGo-rh5FGQDH44mUyXi9ZOLHM-mi6XyyByBJ5GR2KYWA2AJJJgCO-Ar4no4iQIjlZHr4DoU9ngbILCoYAskBeplYG5AAFUZ3ORMuEAcqXeFw3L9vwHdQ-FILpIOOzwAla8qEgBcgOPEI+FPMA6F1a8oLoCMbnNCMNAbADAyA+sgNDccqHYBsYMDKD4jYN8PXBM9z1g991GXICQjrSCInQhiEJkXAnwPSDN0A3BwTAWjK1YRZGKUdDaIYVgbnwW9-2vfAtRIu9WAQcioJANDWHYdQ3i0i4GwAGWvRSGIIVhcF-NTDLTEktUcdguG4OgkGgSReKoBywHYEIRHofhrJaekIwweyeCclyMDcjzRxkA1fJDLzpXAMQ-wAfQANQzbNcwAZV7Mt+BDW5AQgMBkpSgBhdtO0zXLi3yoA noborder}} |
| </WRAP> | </WRAP> |
| Wie sieht nun das Innere der linearen Quelle aus? In <imgref BildNr4> sind zwei mögliche, lineare Quellen dargestellt, die im Folgenden betrachtet werden. | |
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| ==== Lineare Spannungsquelle ==== | ==== Linear Voltage Source ==== |
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| Die lineare Spannungsquelle besteht aus einer Reihenschaltung einer idealen Spannungsquelle mit der Quellspannung $U_0$ (englisch: EMF für Elektro-Magnetic-Force) und dem Innenwiderstand $R_i$. | The linear voltage source consists of a series connection of an ideal voltage source with the source voltage $U_0$ (English: EMF for ElectroMotive Force) and the internal resistance $R_\rm i$. To determine the voltage outside the active two-terminal network, the system can be considered as a voltage divider. The following applies: |
| Zur Ermittlung der Spannung außerhalb des aktiven Zweipols lässt sich das System als Spannungsteiler betrachten. Dabei gilt: | |
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| \begin{align*} U = U_0 - R_i \cdot I \end{align*} | \begin{align*} U = U_0 - R_{\rm i} \cdot I \end{align*} |
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| Die Quellspannung $U_0$ der idealen Spannungsquelle ist an den Klemmen des Zweipols zu messen, wenn dieser unbelastet ist. Dann fließt kein Strom über den Innenwiderstand $R_i$ und es ergibt sich dort kein Spannungsabfall. Es gilt also: Die Quellenspannung ist gleich der Leerlaufspannung $U_0 = U_{LL}$. | The source voltage $U_0$ of the ideal voltage source will be measured at the terminals of the two-terminal network if this is unloaded. Then no current flows through the internal resistor $R_i$ and there is no voltage drop there. Therefore: The source voltage is equal to the open circuit voltage $U_0 = U_{\rm OC}$. |
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| \begin{align*} U = U_{LL} - R_i \cdot I \end{align*} | \begin{align*} U = U_{\rm OC} - R_{\rm i} \cdot I \end{align*} |
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| Wenn die äußere Spannung $U=0$ ist, handelt es sich um den Kurzschlussfall. In diesem Fall wird $0 = U_{LL} - R_i \cdot I_{KS}$ und umgeformt $R_i = {{U_{LL}}\over{I_{KS}}}$. Es ergibt sich also die Gleichung $(3.1.2)$: | When the external voltage $U=0$, it is the short circuit case. In this case, $0 = U_{\rm OC} - R_{\rm i} \cdot I_{\rm SC}$ and transform $R_{\rm i} = {{U_{\rm OC}}\over{I_{\rm SC}}}$. |
| \begin{align*} U = U_{LL} - {{U_{LL}}\over{I_{KS}}} \cdot I \end{align*} | Thus, equation $(3.1.2)$ is obtained: \begin{align*} U = U_{\rm OC} - {{U_{\rm OC}}\over{I_{\rm SC}}} \cdot I \end{align*} |
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| Ist das also der gesuchte Aufbau der linearen Quelle? Zur Überprüfung soll nun noch die zweite lineare Quelle betrachtet werden. | Is this the structure of the linear source we are looking for? To verify this, we will now look at the second linear source. |
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| ==== Lineare Stromquelle ==== | ==== Linear Current Source ==== |
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| Die lineare Stromquelle besteht nun aus einer __Parallelschaltung__ einer idealen Stromquelle mit dem Quellstrom $I_0$ und dem Innenwiderstand $R_i$, bzw. dem Innenleitwert $G_i = {{1}\over{R_i}}$. Zur Ermittlung der Spannung außerhalb des aktiven Zweipols lässt sich das System als Stromteiler betrachten. Dabei gilt: | The linear current source now consists of a __parallel circuit__ of an ideal current source with source current $I_0$ and internal resistance $R_{\rm i}$, or internal conductance $G_{\rm i} = {{1}\over{R_{\rm i}}}$. To determine the voltage outside the active two-terminal, the system can be considered as a current divider. Here, the following holds: |
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| \begin{align*} I = I_0 - G_i \cdot U \end{align*} | \begin{align*} I = I_0 - G_{\rm i} \cdot U \end{align*} |
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| Hierbei kann der Quellstrom im Kurzschlussfall an den Klemmen gemessen werden. Es gilt also: $I_{KS}= I_0$ | Here, the source current can be measured at the terminals in the event of a short circuit. The following therefore applies: $I_{\rm SC}= I_0$ |
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| \begin{align*} I = I_{KS} - G_i \cdot U \end{align*} | \begin{align*} I = I_{SC} - G_{\rm i} \cdot U \end{align*} |
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| Wenn der äußere Strom $I=0$ ist, handelt es sich um den Leerlauf-Fall. In diesem Fall wird $0 = I_{KS} - G_i \cdot U_{LL}$ und umgeformt $G_i = {{I_{KS}}\over{U_{LL}}}$. \\ Es ergibt sich also Gleichung $(3.1.1)$: | When the external current $I=0$, it is the no-load case. In this case, $0 = I_{\rm SC} - G_{\rm i} \cdot U_{\rm OC}$ and transform $G_{\rm i} = {{I_{\rm SC}}\over{U_{\rm OC}}}$. \\ |
| \begin{align*} I = I_{KS} - {{I_{KS}}\over{U_{LL}}} \cdot U \end{align*} | Thus, equation $(3.1.1)$ is obtained: \begin{align*} I = I_{\rm SC} - {{I_{\rm SC}}\over{U_{\rm OC}}} \cdot U \end{align*} |
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| Es scheint also so, als ob die beiden linearen Quellen das gleiche beschreiben. | So it seems that the two linear sources describe the same thing. |
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| ==== Dualität der linearen Quellen ==== | ==== Duality of Linear Sources ==== |
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| <WRAP right> | Through the previous calculations, we came to the interesting realization that both the linear voltage source and the linear current source provide the same result. It is true: For a linear source, both a linear voltage source and a linear current source can be specified as an equivalent circuit! As already in the case of the star-delta transformation, this not only provides two explanations for a black box. Also, here linear voltage sources can be transformed into linear current sources and vice versa. |
| <imgcaption BildNr7 | Dualität der linearen Quellen> | |
| </imgcaption> | |
| {{drawio>DualitaetQuellen}} | |
| </WRAP> | |
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| Durch die vorherigen Berechnungen kamen wir zur interessanten Erkenntnis, dass sowohl die lineare Spannungsquelle, als auch die lineare Stromquelle das gleiche Ergebnis liefern. Es gilt: Für eine lineare Quelle kann als Ersatzschaltbild sowohl eine lineare Spannungsquelle als auch eine lineare Stromquelle angegeben werden! Wie bereits bei der Stern-Dreieck-Transformation wird damit nicht nur für eine Blackbox zwei Erklärungen geliefert. Auch hier können lineare Spannungsquellen in lineare lineare Stromquellen umgewandelt werden und umgekehrt. | The <imgref imageNo7 > compares again the two linear sources and their characteristics: |
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| Die <imgref BildNr7> stellt nochmals die beiden lineare Quellen und deren Kennlinien gegenüber: | - The linear voltage source is given by the source voltage $U_0$, or the open circuit voltage $U_{\rm OC}$ and the internal resistance $R_{\rm i}$. |
| - Die lineare Spannungsquelle ist gegeben durch die Quellspannung $U_0$, bzw. die Leerlaufspannung $U_{LL}$ und dem Innenwiderstand $R_i$ | - The linear current source is given by the source current $I_0$, or the short-circuit current $I_{\rm SC}$ and the internal conductance $G_{\rm i}$. |
| - Die lineare Stromquelle ist gegeben durch den Quellstrom $I_0$, bzw. den Kurzschlussstrom $I_{KS}$ und dem Innenleitwert $G_i$ | |
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| Die Umwandlung geschieht nun so, dass sich die gleiche Kennlinie ergibt: | <WRAP> <imgcaption imageNo7 | duality of linear sources> </imgcaption> {{drawio>DualitaetQuellen.svg}} </WRAP> |
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| - __Von linearer Spannungsquelle in lineare Stromquelle__: \\ Gegeben: Quellspannung $U_0$, bzw. Leerlaufspannung $U_{LL}$, Innenwiderstand $R_i$ \\ Gesucht: Quellstrom $I_0$, bzw. Kurzschlussstrom $I_{KS}$ , Innenleitwert $G_i$ \\ $\boxed{I_{KS} = {{U_{LL}}\over{R_i}}}$ , $\boxed{G_i = {{1}\over{R_i}}}$ | The conversion is now done in such a way that the same characteristic curve is obtained: |
| - __Von linearer Stromquelle in lineare Spannungsquelle__: \\ Gegeben: Quellstrom $I_0$, bzw. Kurzschlussstrom $I_{KS}$ , Innenleitwert $G_i$ \\ Gesucht: Quellspannung $U_0$, bzw. Leerlaufspannung $U_{LL}$, Innenwiderstand $R_i$ \\ $\boxed{U_{LL} = {{I_{KS}}\over{G_i}}}$ , $\boxed{R_i = {{1}\over{G_i}}}$ | |
| |
| | - __From linear voltage source to linear current source__: <WRAP> |
| | Given: Source voltage $U_0$, resp. open circuit voltage $U_{\rm OC}$, internal resistance $R_\rm i$ \\ |
| | in question: source current $I_0$, resp. short circuit current $I_{\rm SC}$, internal conductance $G_\rm i$ \\ |
| | $\boxed{I_{\rm SC} = {{U_{\rm OC}}\over{R_\rm i}}}$ , $\boxed{G_\rm i = {{1}\over{R_\rm i}}}$ |
| | </WRAP> |
| | - __From linear current source to linear voltage source__: <WRAP> |
| | Given: Source current $I_0$, resp. short-circuit current $I_{\rm SC}$, internal resistance $G_\rm i$ \\ |
| | in question: source voltage $U_0$, resp. open-circuit voltage $U_{\rm OC}$, internal resistance $R_\rm i$ \\ |
| | $\boxed{U_{\rm OC} = {{I_{\rm SC}}\over{G_\rm i}}}$ , $\boxed{R_\rm i = {{1}\over{G_\rm i}}}$ |
| | </WRAP> |
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| ==== Arbeitspunkt einer realen Spannungsquelle ==== | |
| |
| <WRAP right> | ==== Operating Point of a real Voltage Source ==== |
| <imgcaption BildNr5 | Kennlinien der Quelle und des Verbrauchers> | |
| </imgcaption> \\ | |
| {{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0lwrFaYwGZVgCwA5P1ZAGyHYBMhqImAnCIpqgFABuIAtCqSKfIe5+FLYoIzJDojxMeIwBO-MF0XC2qJUJFg4kRgHcFXHn1WHeUPVWFH2a7mZ0BzS3b45u2YToBG-THy1cbJiY3CTm8gQhyiCRLppwFqSkURqx0Tr6SSHWsdY6rFncYtzJ4IRS4FTiEDXQqIRovNhghPBt8ADsHUgyPuRRkLSo8OKkHYgZNurCbumMToXWix7mmaXJo+v2iaUtmymejAAe-MQg2OLUENiU2SEAKgCmAM4ALs8AxgAWAIYANq8AK4AOwcAB1ngAzAA-sghAEVAY8-n9HscyuIOrRMB1hGQqEUQE83p9fgCQeCobCIQA1R6yLyyH6A7709E8cDYWgdGrULgpEDMH6yACWPy8qNk6LAiFIcBA424kFughAAHURQATelvH7AzWMaCC4UAfQASiJKJQuGCAA4gfwiNjcSoQGkAYRpAGUAKJ-AC2ELAENIENQEMwYNkAHFZAB7EGav2B57wKMe73JsMQtPPDoQwhBqNml4it5x2RZ57B56hmPxxNVyOyM0-EV-KvdSBgkM92sAKgAFD82F4AJQQ7vPbvZiHD0dj-uPAB6g4+E+nfZGk53s+eYj7+d3m8n0BkmC0pwxV6EwggQtk5qgvYH8-Hkmzzzfi5Xa7Hz9TCop3Dfcp3zTcIOkRg43ACBCBCcQL0ILh4EeNhdjQjlRlgmJoJAWgIEQloULQu80IIl0hkYIA 700,400 noborder}} | |
| </WRAP> | |
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| <imgref BildNr5> zeigt die Kennlinien der linearen Spannungsquelle (links) und eines ohmschen Widerstands (rechts). Dazu werden beide in der Simulation mit einem Testsystem verbunden: Im Fall der Quelle mit einem variablen, ohmschen Widerstand, im Fall des Verbrauchers mit einer variablen Quelle. Die so gebildeten Kennlinien wurden in vorherigen Kapitel beschrieben. | <imgref imageNo5 > shows the characteristics of the linear voltage source (left) and a resistive resistor (right). For this purpose, both are connected to a test system in the simulation: In the case of the source with a variable ohmic resistor, and in the case of the load with a variable source. The characteristic curves formed in this way were described in the previous chapter. |
| | |
| | <WRAP> <imgcaption imageNo5 | Source and consumer characteristics> </imgcaption> \\ {{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0lwrFaYwGZVgCwA5P1ZAGyHYBMhqImAnCIppfAKYC0KAUAG4htikil4hHin59sUSZkh1JMmPHYAnEX3CkJLVGI2SwcSOwDuq-oOFazQqMaoTzPbQOuGA5nefCcA7BPnsAIxFMYX1+FkxMARIbFQIo8RB4zz04W1JSBN1kxMMTDKiHZIdDbgKBaQFM8EJ5cCoZCCboVEI0IWwwQnge+AB2PqRFIPIEyFpUeBlSPsQ8xx0Jb1z2d3KHdd85dOrM6d2XHYTaqqy-dgAPEWIQbBke28pCqIAXJgBnF4Add4BjAEslL8AK7-b7vABmAHslD93lDgUCmJcajI+hN4FEyFQKiA3p8fgDfkpQeDobD3gAbKEAQwAJijBOBsLRCIMwNR+FkQJwaUp-jSApTkVdSJRSJBKGyBEQcWoAEoff6fGHsaA8vkAfXlkko4pAXwADiBQpIWAJ6hAAGoAYStAGUAKKUgC2PzAP1IP1QP0wXyUAHElAiAHZ051u97wf22h0R70-aPvPo-Qju-2K97Kl4w+PvD3vL2B4PAsN5v1KeU0-6UvODSBfT2NwsAKgAFDSWAEAJQ-BvvBsJn4drvdltMAB6bd+vYHzamfcXQ-e0mbKaXc770EUmH011R+40EggvKU2qgTdbI574D7F-ePve17Hk+n3fvU1vA-vj9XycXc4Dtu7BQuAECEFEMi7oQ-DMCw1RgKwTLTGBSQgSAtAQFBXSwawx6sJhFoTOwQA noborder}} </WRAP> |
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| <WRAP right> | The operating point can be determined from both characteristic curves. This is assumed when both the linear voltage source is connected to the ohmic resistor (without the respective test systems). In <imgref imageNo6 > both characteristic curves are drawn in a current-voltage diagram. The point of intersection is just the operating point that sets in. If the load resistance is varied, the slope changes in inverse proportion, and a new operating point is established (light grey in the figure). |
| <imgcaption BildNr6 | Ermittlung des Arbeitspunktes> | |
| </imgcaption> | |
| {{drawio>ArbeitspunktLinear}} | |
| </WRAP> | |
| |
| Aus beiden Kennlinien kann der Arbeitspunkt bestimmt werden. Dieser wird eingenommen, wenn beide die lineare Spannungsquelle mit dem ohmschen Widerstand verbunden werden (ohne die jeweiligen Testssysteme). In <imgref BildNr6> sind beide Kennlinien in einem Strom-Spannungsdiagramm gezeichnet. Der Schnittpunkt ist gerade der sich einstellende Arbeitspunkt. Wird der Lastwiderstand variiert, so ändert sich die Steigung umgekehrt proportional und ein neuer Arbeitspunkt stellt sich ein (hellgrau in der Abbildung). | The derivation of the working point is also [[https://www.youtube.com/watch?v=Okt6oy4sF_A|here]] explained again in a video. |
| |
| Die Herleitung des Arbeitspunkts ist wird auch [[https://www.youtube.com/watch?v=Okt6oy4sF_A|hier]] nochmals in einem Video erklärt. | <WRAP> <imgcaption imageNo6 | Determining the operating point> </imgcaption> {{drawio>ArbeitspunktLinear.svg}} </WRAP> |
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| <WRAP right> | The variation of the different source parameters will be briefly discussed. \\ \\ |
| <imgcaption BildNr9 | Geradenscharen für die Variation der Quellparameter> | |
| </imgcaption> | |
| {{drawio>GeradenscharenQuellparameter}} | |
| </WRAP> | |
| |
| Es soll noch kurz auf die Variation der unterschiedlichen Quellparameter eingegangen werden. | For the linear __current source__, the source __current__ $I_0$ and the internal __conductance__ $G_{\rm i}$ can be varied. This results in the straight line arrays in <imgref imageNo9 > above. The source current shifts the straight lines while keeping the slope constant. The internal conductance changes only the slope; this results in a straight line array around the intersection $I_0 = I_{\rm SC}$. \\ Since an __ideal current source__ should always supply the source current, its internal __conductance__ $G_{\rm i}=0$. |
| \\ \\ | |
| Bei der linearen Stromquelle kann der Quellstrom $I_0$ und der Innenleitwert $G_i$ variiert werden. Daraus ergeben sich die Geradenscharen in <imgref BildNr9> oben. Der Quellstrom verschiebt die Geraden, wobei die Steigung konstant bleibt. Der Innenleitwert ändert nur die Steigung; es ergibt sich eine Geradenschar um den Schnittpunkt $I_0 = I_{KS}$. \\ Da eine ideale Stromquelle stets den Quellstrom liefern soll, ist ihr Innenleitwert $G_i=0$. | |
| |
| \\ \\ | \\ \\ For the linear __voltage source__, the source __voltage__ $U_0$ and the internal __resistance__ $R_{\rm i}$ can be varied. This results in the straight line arcs in <imgref imageNo9 > below. The source voltage shifts the straight lines while keeping the slope constant. The internal resistance changes only the slope; this results in a straight line array around the intersection $U_0 = U_{\rm OC}$. \\ Since an __ideal voltage source__ should always supply the source voltage, its internal __resistance__ $R_{\rm i}=0$. |
| Bei der linearen Spannungsquelle kann die Quellspannung $U_0$ und der Innenwiderstand $R_i$ variiert werden. Daraus ergeben sich die Geradenscharen in <imgref BildNr9> unten. Die Quellspannung verschiebt die Geraden, wobei die Steigung konstant bleibt. Der Innenwiderstand ändert nur die Steigung; es ergibt sich eine Geradenschar um den Schnittpunkt $U_0 = U_{LL}$. \\ Da eine ideale Spannungsquelle stets die Quellspannung liefern soll, ist ihr Innenwiderstand $R_i=0$. | |
| | <WRAP> <imgcaption imageNo9 | Straight line arrays for source parameter variation> </imgcaption> {{drawio>GeradenscharenQuellparameter.svg}} <WRAP> |
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| <panel type="info" title="Aufgabe 3.1.1 Stromquelle in Spannungsquelle umwandeln"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> | <panel type="info" title="Exercise 3.1.1 Convert current source to voltage source"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> |
| |
| {{youtube>eQ60i0ZIfw8}} | {{youtube>ZqohGL-40a4}} |
| |
| </WRAP></WRAP></panel> | </WRAP></WRAP></panel> |
| |
| <panel type="info" title="Aufgabe 3.1.2 Spannungsquelle in Stromquelle umwandeln"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> | <panel type="info" title="Exercise 3.1.2 Convert voltage source to current source"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> |
| |
| {{youtube>GsNY0_Rsk7I}} | {{youtube>vVDNsztDmAk}} |
| |
| </WRAP></WRAP></panel> | </WRAP></WRAP></panel> |
| |
| {{page>aufgabe_3.1.3_mit_rechnung&nofooter}} | {{page>task_3.1.3_with_calculation&nofooter}} |
| |
| | ===== 3.2 Conversion of any linear two-terminal Network ===== |
| |
| ===== 3.2 Umwandlung beliebiger linearer Zweipole ===== | <callout> |
| |
| <callout> | === Objectives === |
| === Ziele === | |
| Nach dieser Lektion sollten Sie: | After this lesson you should: |
| |
| - wissen, dass jede beliebige lineare Schaltung mit zwei Anschlüssen aus ohmschen Widerständen und Quellen als lineare Stromquelle bzw. lineare Spannungsquelle zu verstehen ist. | - know that any linear circuit with two connections of ohmic resistors and sources can be understood as a linear current source or linear voltage source. |
| - die Quellen-Umwandlung bei komplizierteren Schaltungen mit mehreren Stromquellen bzw. Spannungsquellen anwenden können | - Be able to apply source conversion to more complicated circuits with multiple current sources or voltage sources. |
| - wissen, wie die Leerlaufspannung $U_{LL}$ und der Kurzschlusstrom $I_{KS}$) ermittelt werden können. | - know how to determine the open circuit voltage $U_{\rm OC}$ and the short circuit current $I_{\rm SC}$). |
| - die Parameter der Ersatzspannungsquelle (Innenwiderstand $R_i$ und Quellenspannung $U_q$) einer beliebigen linearen Schaltung berechnen können. | - be able to calculate the parameters of the equivalent voltage source (internal resistance $R_{\rm i}$ and source voltage $U_{\rm s}$) of any linear circuit. |
| - die grafische Interpretation von Spannung und Strom am linearen Zweipol in Form einer Kennlinie verstehen und zeichnen können. | - understand and be able to draw the graphical interpretation of voltage and current at the linear two-terminal network in the form of a characteristic curve. |
| |
| </callout> | </callout> |
| |
| | In <imgref imageNob7 >, it can be seen that the internal resistance of the linear current source measured by the ohmmeter (resistance meter) is exactly equal to that of the linear voltage source. |
| <WRAP right> | |
| <imgcaption BildNr7 | Widerstand von linearen Quellen> | |
| </imgcaption> \\ | |
| {{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgDOB0YzCsICMZICYaoOyYMxgByoBsAnCZkiAgCw4BQAbiCUSKnKy0pqxBNRAR8ocOgCdmrRD25SZEZDDoB3SWw6z1vOqkStUqalraHNClSaPs5+jWAvSbls3QCWIHOmOeF8qPAsfTRx8I0dwcQ9Q4OjrcCRYQNiNILj7VRCwmWoiLO0M5NYcqzsdPRBi40rw8wBzZziDK3x8CPrKuI6WiIAjECJEJDgwohw2TFRetnIh1upEQaxJ+wAPabCcGmoSJBCKpFaAG1cAOwBTAEMxM4AdAGcAZQAXMQB7AFsARwBXM8PDs50Na5Xb6IiTRA4HZhI6nS7Xe4PAAOFxOJ2+J1qdx+fwBdCAA 700,400 noborder}} | |
| </WRAP> | |
| |
| In <imgref BildNr7> ist zu sehen, dass der durch das Ohmmeter (Widerstandsmessgerät) gemessene Innenwiderstand der linearen Stromquelle genau gleich dem der linearen Spannungsquelle ist. | <WRAP> <imgcaption imageNob7 | Resistance of linear sources> </imgcaption> \\ {{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgDOB0YzCsICMZICYaoOyYMxgByoBsAnCZkiAgCw5UCmAtIogFABuIJRIqcP3JJh4QI1CAlFQ4rAE5ceiYUMXKIyGKwDuC3vxV6RrVIh6pU1Q7wsH1265b6qz+sPaXOHt1gEsQOdCsA9TUoeHtggxx8Sw9wOX8YqKSncCRYCJT9SNS3HWjY5WoiQqN8rJ5ix1djUxAqqwa4uwBzL1TzR3x8NLc2htSB7t7WACMQIkQkOFiiOixUePHUcmme6hZeTEW3AA9eElicGjgexGj6pB6AGx8AO3oAQ1kAHQBnAGMAV1lZejuAC7vN4Aex+H3orH2JSQODMeFhJEuiBu9yerze7BB1wBjxa9GBYNkENYQA noborder}} </WRAP> |
| |
| Betrachtet man die Eigenschaften des Ohmmeters in der Simulation, stellt man fest, dass dort ein Messstrom zur Ermittlung des Widerstandswerts genutzt wird. Dieses Konzept wird im 2. Semester noch Teil der Elektrotechniklabor-Versuchs zu [[elektrotechnik_labor:1. Widerstände|Widerstände]]n sein. | In the simulation, a measuring current $I_\Omega$ is used to determine the resistance value. ((This concept will also be used in an electrical engineering lab experiment on [[elektrotechnik_labor:1_widerstaende|resistor]]s in the 3rd semester.)) Let us have a look at the properties of the ohmmeter in the simulation by double-clicking on the ohmmeter. Here, a very large measuring current of $I_\Omega=1~\rm A$ is used. This could lead to high voltages or the destruction of components in real setups. \\ |
| Jedoch wird hier ein sehr großer Messstrom von $1A$ verwendet. Dieser könnte in realen Aufbauten zu hohen Spannungen bzw. zur Zerstörung von Komponenten führen. | \\ |
| \\ \\ | In order to understand why is this nevertheless chosen so high in the simulation, do the following: Set the measuring current for both linear sources to (more realistic) $1~\rm mA$. What do you notice? |
| Warum ist dieser dennoch in der Simulation so hoch gewählt? Stellen Sie bei beiden linearen Quellen den Messstrom auf (realistischere) $1mA$. Was fällt dabei auf? | |
| |
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| <WRAP right> | |
| <imgcaption BildNr8 | Schaltung mit zwei Stromquellen> | |
| </imgcaption> | |
| {{drawio>SchaltungZeiStromquellen}} | |
| </WRAP> | |
| |
| Die Schaltung in <imgref BildNr8> zeigt diese Schaltung nochmals. Das Ohmmeter ist durch eine Stromquelle und ein Voltmeter ersetzt, da im Folgenden nur die elektrischen Eigenschaften wichtig sind. In diesem Aufbau zeigt sich, dass der Strom durch $G_i$ gerade durch $I_i = I_0 + I_\Omega$ gegeben ist (Knotensatz). Die beiden Quellen in der Schaltung lassen sich also reduzieren. | The circuit in <imgref imageNo8 > shows this circuit again. The ohmmeter is replaced by a current source and a voltmeter since only the electrical properties are important in the following. In this setup, it can be seen that the current through $G_{\rm i}$ is just given by $I_{\rm i} = I_0 + I_\Omega$ (node theorem). Thus, the two sources in the circuit can be reduced. |
| |
| Damit sollte die Situation mit einem Messstrom mit $1mA$ deutlich werden. Die Spannung am Widerstand ist nun durch $U_\Omega = R \cdot (I_0 + I_\Omega)$. Nur wenn $I_\Omega$ sehr groß ist, wird $I_0$ vernachlässigbar. Der Strom eines herkömmlichen Ohmmeters kann dies nicht bei jeder Messung gewährleisten. | This should make the situation clear with a measuring current of $1~\rm mA$. The voltage at the resistor is now given by $U_\Omega = R \cdot (I_0 + I_\Omega)$. |
| | Only when $I_\Omega$ is very large does $I_0$ become negligible. The current of a conventional ohmmeter cannot guarantee this for every measurement. |
| |
| <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:"> | <WRAP> <imgcaption imageNo8 | circuit with two current sources> </imgcaption> {{drawio>SchaltungZeiStromquellen.svg}} </WRAP> |
| Sollen Widerstände in einer Schaltung gemessen werden, so muss mindestens ein Anschluss des Widerstands aus der Schaltung gelöst werden. Ansonsten können weitere Quellen oder Widerstände das Messergebnis verfälschen. | |
| </callout> | |
| |
| ==== Komplexeres Beispiel ==== | <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Note:"> If resistors are to be measured in a circuit, at least one terminal of the resistor must be disconnected from the circuit. Otherwise, other sources or resistors may falsify the measurement result. </callout> |
| <WRAP right> | |
| <imgcaption BildNr9 | Schaltung mit mehreren Quellen> | |
| </imgcaption> | |
| {{drawio>SchaltungMehrereStromquellen}} | |
| </WRAP> | |
| |
| Diese Erkenntnis kann nun aber auch bei komplizierteren Schaltungen genutzt werden. In <imgref BildNr9> ist eine solche Schaltung gezeichnet. Diese soll in einen gesuchten Ersatzleitwert $G_g$ und eine gesuchte Ersatzstromquelle mit $I_g$ umgewandelt werden. | ==== More complex Example ==== |
| |
| **Wichtig hierbei**: Es können nur Zweipole über die Quellen-Dualität umgewandelt werden. D.h. es dürfen bei ausgewählten Teilbereichen der Schaltung nur 2 Knoten als Ausgangsklemmen agieren. Gibt es mehr Knoten ist die Umwandlung nicht möglich. | This knowledge can now be used for more complicated circuits. In <imgref imageNob9 > such a circuit is drawn. This is to be converted into a searched equivalent conductance $G_{\rm eq}$ and a searched equivalent current source with $I_{\rm eq}$. |
| \\ \\ \\ | |
| - Als erstem Schritt sollen Quellen so umgewandelt werden, dass nach der Umwandlung Widerständer zusammengefasst werden können. In diesem Beispiel geschieht dies durch: | |
| - die Umwandlung der linearen Spannungsquelle $R_1$ und $U_1$ in eine lineare Stromquelle mit $I_1={{U_1}\over{R_1}}$ und $R_1$ (bzw. $G_1={{1}\over{R_1}}$)\\ | |
| - die Umwandlung der linearen Stromquelle $R_4$ und $I_4$ in eine lineare Spannungsquelle mit $U_4={{I_4}\cdot{R_4}}$ und $R_4$ \\ \\ \\ \\ \\ \\ | |
| - Im zweiten Schritt kann die in 1. gebildete lineare Spannungsquelle $U_4$ mit $R_4$ mit dem Widerstand $R_3$ verbunden werden. Daraus kann wieder eine lineare Stromquelle erstellt werden. Diese hat nun einen Widerstand von $R_5 = R_3+R_4$ und eine ideale Stromquelle mit $I_5 = {{U_4}\over{R_3+R_4}}= {{{I_4}\cdot{R_4}}\over{R_3+R_4}} $. \\ \\ \\ \\ \\ \\ | |
| - Das nun entstandene Schaltbild ist eine Parallelschaltung von idealen Stromquellen und Widerständen. Damit lassen sich die Werte der idealen Ersatzstromquelle und des Ersatzwiderstands ermitteln: | |
| - ideale Ersatzstromquelle $I_g$: \begin{align*} I_g = I_1 + I_3 + I_5 = I_1 + I_3 + I_4\cdot{{R_4}\over{R_3+R_4}} \end{align*} | |
| - Ersatzleitwert $G_g$: \begin{align*} G_g = \Sigma G_i = {{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}+{{1}\over{R_5}}={{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}+{{1}\over{R_3+R_4}} \end{align*} | |
| |
| ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | **Important here**: Only two-terminal networks can be converted via source duality. This means that only 2 nodes may act as output terminals for selected sections of the circuit. If there are more nodes the conversion is not possible. |
| |
| <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:"> | <WRAP> <imgcaption imageNob9 | circuit with multiple sources> </imgcaption> {{drawio>SchaltungMehrereStromquellen.svg}} </WRAP> |
| |
| <WRAP right> | - As a first step, sources are to be converted in such a way that resistors can be combined after the conversion. In this example, this is done by: |
| <imgcaption BildNr63 | Ersatzspannungs- und -stromquelle> | - converting the linear voltage source $R_1$ and $U_1$ into a linear current source with $I_1={{U_1}\over{R_1}}$ and $R_1$ (or $G_1={{1}\over{R_1}}$) |
| </imgcaption> \\ | - converting the linear current source $R_4$ and $I_4$ into a linear voltage source with $U_4={{I_4}\cdot{R_4}}$ and $R_4$ |
| {{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjA7CAMB00IQVhrAnAFgBwQgZiSzwDYCskAmYkJaGkDPAKAHMQBaCiC8MHz7uApYYrBtnBoeGCRSTVoTAG4c8JXvy48wfGHox0KsLNAiE9dOEiYB3DlpDEM9wTp6K77DGGpuO36idRACdVdT8vHw09HQhYCCwMKghbcRF2KJkRMClROyDhESDLJlC-E2jIBXAEUpA8Cjoq+sShESba0KzJHjxWhw7FFTxoZxGx-sFLBjoUaatlR2dCkAoKZax2-UMLVGsVcsNobOFdg3p52GtQtecgw5jEOobDeRblqZrFUL7nPhFujl3F86v9VucCpttt9VutVlDxvVRnpGkNYcs4bd4Vs6Oc5hYrotERUscVthcCftKhBfKd1vMZhTLITho1wDT6my5NVcbNdgsVCswDJ3m0znzLtckc4SVDhc5BnVGicREKRYqbpi4S92dVUUrjmKsViNdTqMqxYrPM00NQMhyStaObaOM0wR5XdQXRlae1Uj7OZ6QC7FABLV3Ou1REOoaAUPokUh1e2+oPu3hxBJJYgpNgBsH59VMAAerrQTTQeFWkmoy2cAFFggBnACGABcAF5NtvBAD2AFsAI4AVwApgAbcejkv+Vy5TjxyQoOsgRutztNgAOLYAdjvhzuWE2RxOp8mSCIGi5esC8GBYMQ0DP2Go0OB0hQ0CgKGAGOCQAASgA+gAMosL7EOkV4CPwV5NDMEqUkwADK-hRHQEE4uAIAAGYtuOTajiiz4kBhpCqGAKDsMQuL-iBLbds+YDQFROYcDR7HOCu9GMZ4DhBDBgYeoJ0EOC+7j+gESxoTy-oXkGmGqBJnjyVEilwf6fhqX4GnWroAYZPpulBtBakaahKZ6IZwLwXhBFEYY4ERKZdpwdhBiIcy1iluwRDvqob4-n+cLAWBoTWYGAZuXeD5PnYJrouACipFi4mJV4fp2DqUVshloioc0Aapeh2F2YRxGCnCeXZRI8EeUyewznIVa9Mx9ArqFYBKnCUQ6iVMWPqkhVRAJ6GpKNgQKnknIYZkEgBh62W9WyY0AEb+EEFScHgUA+BJ62cMKIAVGAVZ7aIB0YJBHBIM4nDeI4JQHT+6RIL+b7kYopbCqxvjluxVbcQxbZML2DC+NsaBvvecixvi0jUFWa7tl2257geR6DrAoOrNDkPQ7AsNwCx2E8J+9Srs2KPdn2Q7Y2Du34+AhNzPA37VlAVYtsOTY4bAAA6TbIQAxgAFvhbYY0wQA 600,400 noborder}} | - In the second step, the linear voltage source $U_4$ formed in 1. with $R_4$ can be connected to the resistor $R_3$. From this again a linear current source can be created. This now has a resistance of $R_5 = R_3+R_4$ and an ideal current source with $I_5 = {{U_4}\over{R_3+R_4}}= {{I_4}\cdot{R_4}\over{R_3+R_4}} $. |
| </WRAP> | - The circuit diagram that now emerges is a parallel circuit of ideal current sources and resistors. This can be used to determine the values of the ideal equivalent current source and the equivalent resistance: |
| | - ideal equivalent current source $I_{\rm eq}$: \begin{align*} I_{\rm eq} = I_1 + I_3 + I_5 = I_1 + I_3 + I_4\cdot{{R_4}\over{R_3+R_4}} \end{align*} |
| | - Substitute conductance $G_{\rm eq}$: \begin{align*} G_{\rm eq} = \Sigma G_i = {{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}+{{1}\over{R_5}}={{1}\over{R_1}}+{{1}\over{R_2}}+{{1}\over{R_3+R_4}} \end{align*} |
| |
| | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ |
| |
| Jede beliebige Zusammenschaltung von __linearen__ Spannungsquellen, Stromquellen und __ohmschen__ Widerständen lässt sich | <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Note:"> |
| * als eine einzelne, lineare Spannungsquelle \\ ({{wpde>Thévenin-Theorem}}) oder | |
| * als eine einzelne, lineare Stromquelle \\ ({{wpde>Norton-Theorem}}) | |
| darstellen. | |
| |
| In <imgref BildNr63> ist zu sehen, dass die drei Schaltungen bei gleicher Last das gleiche Resultat (Spannung / Strom) liefern. Dies gilt auch, wenn statt der Last eine (Wechselspannungs)Quelle genutzt wird. | Any interconnection of __linear__ voltage sources, current sources, and __ohmic__ resistors can be. |
| </callout> | |
| |
| | * as a single, linear voltage source \\ ({{https://de.wikipedia.org/wiki/Thévenin theorem|Thévenin theorem}} ) or |
| | * as a single, linear current source \\ ({{https://de.wikipedia.org/wiki/Norton theorem|Norton theorem}} ) |
| | |
| | In <imgref imageNo63 > it can be seen that the three circuits give the same result (voltage/current) with the same load. This is also true when an (AC) source is used instead of the load. </callout> |
| | |
| | <WRAP> <imgcaption imageNo63 | Spare voltage and current source> </imgcaption> \\ {{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=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-sd7jMEdzhfLyKr1MkZGGcTBuh4MCwYhodcYjQcBcgoNAUAoMAGAPAAlAB9AAZOlWDfXQP1EL9wHMSU2U4ABlPh4mkFDiEOToQAAM27YdmHRQCSLoVhSF0Gw+GIOgGxABDFw7AATej3hQJioFYSg2K8TjuL4l13EqHc2lMGTP3QtCSlCag5KI51-FQmMSNyL8XVQsJ9IUtTfBM3xDNtRI9JCayQzMvTDIItNGN8N5KOo2iLGQ+zRBMzCoJWHCBXoogQN0YDIOg554KQ6J2ESYMY0wn8-wA1xcQsZ4wm9LFVNxAJ+myDlUu5YqZAIhkYyKvKsKorsaLonQivkMr5HIkL+VOQDVCYUZ3noTj4q4LVcq5TomnS-9shqsI5Ly7JFo0xV8rKsJhhjdaKqDbkloAI0Iyo6n4PAoCCRSjv4YUQDqMAmEumRrowUi+CQLx+ECDxnWuyDciQKDgOYzRy2FITiGCNBcmYySeP4xcGGCI40GA39VFQaAiSUbpDybWALyvWAlxXNdEbArCOOgVHwFgDG4CxrDd2Aphm1gcdJ2Jp8X0Ri6UbRum1ngCCyhAKAmAolsuy7EdRzDZ8237TggA noborder}} </WRAP> |
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| ==== Vereinfachte Ermittlung des Innenwiderstands ==== | |
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| <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Merke:"> | ==== Simplified Determination of the internal Resistance ==== |
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| <WRAP right> | <callout icon="fa fa-exclamation" color="red" title="Note:"> |
| <imgcaption BildNr10 | Ersatzwiderstand der idealen Quellen> | |
| </imgcaption> | |
| {{drawio>ErsatzwiderstandIdealeQuellen}} | |
| </WRAP> | |
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| Ist nur der Ersatzwiderstand einer komplexeren Schaltung gesucht, so kann folgender Ansatz genutzt werden: | If only the equivalent resistance of a more complex circuit is sought, the following approach can be used: |
| - Ersetze alle ideale Spannungsquellen durch einen Kurzschluss \\ (= Innenwiderstand der idealen Spannungsquelle) | |
| - Ersetze alle ideale Stromquellen durch eine offenen Kontakt \\ (= Innenwiderstand der idealen Stromquelle) | |
| - Füge die übriggebliebenen Widerstände über die Regeln zu Parallel- und Reihenschaltung zu einem Ersatzwiderstand zusammen. | |
| |
| Die Ersatzschaltungen für die idealen Quellen sind über die Schaltbilder ersichtlich (siehe <imgref BildNr10>). | - Replace all ideal voltage sources with a short circuit \\ (= internal resistance of the ideal voltage source). |
| | - Replace all ideal current sources with an open contact \\ (= internal resistance of the ideal current source) |
| | - Add the remaining resistors to an equivalent resistance using the rules for parallel and series connection. |
| |
| | The equivalent circuits for the ideal sources can be seen via the circuit diagrams (see <imgref imageNo10 >). |
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| | <WRAP> <imgcaption imageNo10 | equivalent resistance of ideal sources> </imgcaption> {{drawio>ErsatzwiderstandIdealeQuellen.svg}} </WRAP> |
| </callout> | </callout> |
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| Damit kann auch der Ersatzwiderstand der obigen komplexen Schaltung schnell hergeleitet werden. \\ | Thus also the equivalent resistance of the complex circuit above can be derived quickly. \\ For the source current $I_0$ ideal equivalent current source resp. the source voltage $U_0$ ideal equivalent voltage source this derivation can not be used. |
| Für den Quellstrom $I_0$ ideale Ersatzstromquelle bzw. der Quellspannung $U_0$ ideale Ersatzspannungsquelle kann diese Herleitung nicht genutzt werden. | |
| |
| Der Grund, dass der Innenwiderstand in dieser einfachen Weise ermittelt werden kann, wird im nächsten Kapitel [[network_analysis#ueberlagerungsverfahrensuperpositionsprinzip|Analyse von Gleichstromnetzen: Überlagerungsverfahren]] erklärt. | The reason that the internal resistance can be determined in this simple way will be explained in the next chapter [[:electrical_engineering_1:network_analysis#superposition_methodsuperposition_principle|network_analysis the superposition method]] is explained. |
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| <WRAP right> | |
| <imgcaption BildNr11 | Vereinfachte Ermittlung des Innenwiderstands> | |
| </imgcaption> | |
| {{drawio>VereinfachteErmittlungDesInnenwiderstands}} | |
| </WRAP> | |
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| | <WRAP> <imgcaption imageNo11 | Simplified determination of internal resistance> </imgcaption> {{drawio>VereinfachteErmittlungDesInnenwiderstands.svg}} </WRAP> |
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| <panel type="info" title="Aufgabe 3.2.1 Lösung einer Schaltungsvereinfachung I"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> | <panel type="info" title="Exercise 3.2.1 Solving a circuit simplification I"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> |
| |
| {{youtube>Jb0GIMbZwjA}} | {{youtube>xtOPwmUgPjc}} |
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| </WRAP></WRAP></panel> | </WRAP></WRAP></panel> |
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| <panel type="info" title="Aufgabe 3.2.2 Lösung einer Schaltungsvereinfachung II"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> | <panel type="info" title="Exercise 3.2.2 Solving a circuit simplification II"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> |
| |
| {{youtube>9e1o5QNkzf8}} | {{youtube>UU_RJJ6ne4I}} |
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| </WRAP></WRAP></panel> | </WRAP></WRAP></panel> |
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| <panel type="info" title="Aufgabe 3.2.3 Lösungsskizze für eine schwierigere Schaltungsvereinfachung"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> | <panel type="info" title="Exercise 3.2.3 Solution sketch for a more difficult circuit simplification"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> |
| |
| {{youtube>eYLGsmgAzSY}} | {{youtube>In3NF8f-mzg}} |
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| </WRAP></WRAP></panel> | </WRAP></WRAP></panel> |
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| <panel type="info" title="Aufgabe 3.2.4 3 kurze, aber interessante Schaltungsaufgaben"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> | <panel type="info" title="Exercise 3.2.4 Interesting circuit tasks"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> |
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| {{youtube>IyMY7bAQtGY}} | {{youtube>zTDgziJC-q8}} |
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| </WRAP></WRAP></panel> | </WRAP></WRAP></panel> |
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| | ===== 3.3 Power and Characteristics at two-terminal Networks ===== |
| ===== 3.3 Leistung an Zweipolen und Bezugsgrößen ===== | |
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| <callout> | <callout> |
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| === Ziele === | === Learning Objectives === |
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| Nach dieser Lektion sollten Sie: | |
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| - die Quellenleistung und Verbraucherleistung berechnen können. | By the end of this section, you will be able to: |
| - die Optimierungsziele für Energietechnik und Nachrichtentechnik unterscheiden können. | - calculate the source power and consumer power. |
| - den Wirkungsgrad und Ausnutzungsgrad berechnen können. | - distinguish between the optimization objectives for power engineering and communications engineering. |
| | - calculate the efficiency and utilization rate. |
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| </callout> | </callout> |
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| Leistung und Wirkungsgrad wurden bereits im [[grundlagen_und_grundbegriffe#leistung_und_wirkungsgrad|1. Kapitel]] und [[einfache_gleichstromkreise#erzeuger-_und_verbraucher_bezugs_pfeilsysteme|2. Kapitel]] für einen einfachen Gleichstrom-Stromkreis betrachtet. Im Folgenden soll dies nochmals mit den Kenntnissen der Zweipole analysiert werden. | Power and efficiency have already been considered in [[:electrical_engineering_1:preparation_properties_proportions#power_and_efficiency|1st chapter]] and [[:electrical_engineering_1:simple_circuits#generator_and_load_reference_arrow_system|2nd chapter]] for a simple dc circuit. In the following, this will be analyzed again with the knowledge of two-terminal networks. This is especially important for the fields of communications and power engineering. The goals here are different: |
| Gerade für die Bereiche der Nachrichten- und Energietechnik ist dies wichtig. Die Ziele sind dabei unterschiedlich: | |
| - In __Energietechnik__ ist die Leistungsübertragung das Ziel. Die Leistung soll damit möglichst ohne Verluste abgegeben werden. | |
| - In __Nachrichtentechnik__ ist die Informationsübertragung im Fokus. Damit z.B. aus einer Antenne das bestmögliche Signal entnommen werden kann, muss hier die maximale Leistung entnommen werden. | |
| |
| Diese beiden Ziele scheinen zunächst das ähnlich zu klingen, sind aber deutlich zu unterscheiden, wie gleich zu sehen sein wird. | - In __power engineering__, power transmission is the goal. Power is thus to be delivered without losses as far as possible. |
| | - In __communications engineering__, the focus is on information transmission. So that, for example, the best possible signal can be extracted from an antenna, the maximum power must be extracted here. |
| |
| ==== Leistungsmessung ==== | These two goals seem similar at first, but they are quite different, as will be seen in a moment. |
| |
| <WRAP right> | ==== Power Measurement ==== |
| <imgcaption BildNr12 | Leistungsmessung an der linearen Spannungsquelle> | |
| </imgcaption> | |
| {{drawio>LeistungsmessungLineareSpannungsquelle}} | |
| </WRAP> | |
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| Zunächst muss betrachtet werden, wie die Leistung bestimmt werden kann. Das Leistungsmessgerät (oder Wattmeter) besteht aus einem kombinierten Amperemeter und Voltmeter. | First, it is necessary to consider how to determine the power. The power meter (or wattmeter) consists of a combined ammeter and voltmeter. |
| |
| In <imgref BildNr12> ist das Wattmeter mit dem Schaltsymbol als rundes Element mit gekreuzten Messeingängen zu sehen. | In <imgref imageNo12 > the wattmeter with the circuit symbol can be seen as a round network with crossed measuring inputs. |
| In der Schaltung ist auch je eine Wattmeter für die (nicht außen messbare) abgegebene Leistung der idealen Quelle $P_Q$ und die aufgenommene Leistung des Verbrauchers $P_R$ eingezeichnet. | The circuit also shows one wattmeter each for the (not externally measurable) output power of the ideal source $P_\rm S$ and the input power of the load $P_\rm L$. |
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| | <WRAP> <imgcaption imageNo12 | Power measurement on linear voltage source> </imgcaption> {{drawio>LeistungsmessungLineareSpannungsquelle.svg}} <WRAP> |
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| ==== Leistung und Bezugsgrößen im Diagramm ==== | |
| |
| <WRAP right> | ==== Power and Characteristics in Diagrams ==== |
| <imgcaption BildNr13 | Leistungsanpassung> | |
| </imgcaption> \\ | |
| {{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0mQrFaB2AzADgJwIGyU1qpDvBPOiIgCyoBQAbiFRQExWRMVhVVR-uU+HGPFoB3TuB4hMOKb0i0ATjLndeYPPL5g4iiS0hdpbDuqjKQqQ+GRzrHUzrjirNlshYhDrTxYmajn7M3n76kh5eIU6KKizoxrxO5sKwkGC0LGBR1iA4vFT5eQpWIAAUAIYAtABGAJQA9DBwYABUZTVVAMZ1rk5FNF5F4Q7aGBrSI+5+46Fe4YPebEy52RSKAOaU8arbXNkWhsh7xZRaAyAACgD6ADJ9AmAHyZMPHEXJByPovLJWP9oFrkWMtFpELDVwGoDmBkJhvAQId4jG5KJgIJoFLQAB5LcCQLyaDEIJjgCgAZQADhUAHY0gCuNI2AGcAI70gCmABsuRycUskhxUMgkqhSWAKLcOQBLZkAF0ZLIAthzmczFX0UeZAoDNb5CVpwYpKf8JrxZuCIMJXKNzLa7BZhULIGa3GZpFb-G7vAJRkabQC-os-t8ksFgWF+SCQOg5A6sOKKFzpTSORUlHzcTg5IY46x8ImQABVfnoLxZLwJbxgajgeb8p4aPzZNTIWsSkAAJQbRFsXFW6AgGi80qjserEBYiKyBTJXf5REcmisxGr8OHIHuuJY8HhTxzyAxYHXc+727Qdccg7rYo35L6VbtLt1uNQu5jXmFEHQ7YoJdfh4xvYcIxieBz3ri7DHMeFBUGAYqGEOdabgumBiset4ksecgaH+C66HWn7Ltk7ZeFuK7ocuRD7GBFAAJK0AA9uAiCetkU6pHAuY4E8x5ULuejMHIzQtHwhJYsxGj8Jo6HQDuHJVFwcnwApBGTqSdAYKSZhwEweibhU8piNKAAmHJKPKtImQAOsynZ3LQQA 700,400 noborder}} | |
| </WRAP> | |
| |
| Die Simulation in <imgref BildNr13> zeigt folgendes: | The simulation in <imgref imageNo13 > shows the following: |
| * Die Schaltung mit linearer Spannungsquelle ($U_0$ und $R_i$), sowie einer ohmschen Last $R_L$. | |
| * Einem nachgebildeten Wattmeter, wobei das Amperemeter durch ein Messwiderstand $R_S$ (englisch: Shunt) und eine Spannungsmessung für $U_S$ umgesetzt ist. Die Leistung ist dann: $P_L = {{1}\over{R_S}}\cdot U_S \cdot U_L$. | |
| * im Oszilloskop-Bereich (unten) | |
| * Links ist ist die Leistung ''P_L'' über die Zeit in einem Diagramm aufgetragen. | |
| * Rechts ist das bereits bekannte Strom-Spannungs-Diagramm der aktuellen Werte dargestellt. | |
| * Den Schieberegler ''Lastwiderstand R_L'', mit welchem der Wert des Lastwiderstands $R_L$ geändert werden kann. | |
| |
| Versuchen Sie nun in der Simulation den Wert des Lastwiderstands $R_L$ (Schieberegler) so zu variieren, dass sich die maximale Leistung einstellt. Welcher Widerstandswert stellt sich ein? | * The circuit with linear voltage source ($U_0$ and $R_\rm i$), and a resistive load $R_\rm L$. |
| | * A simulated wattmeter, where the ammeter is implemented by a measuring resistor $R_\rm S$ (English: shunt) and a voltage measurement for $U_\rm S$. The power is then: $P_\rm L = {{1}\over{R_\rm S}}\cdot U_\rm S \cdot U_\rm L$. |
| | * in the oscilloscope section (below). |
| | * On the left is the power $P_\rm L$ plotted against time in a graph. |
| | * On the right is the already-known current-voltage diagram of the current values. |
| | * The slider load resistance $R_\rm L$, with which the value of the load resistance $R_\rm L$ can be changed. |
| | |
| | Now try to vary the value of the load resistance $R_\rm L$ (slider) in the simulation so that the maximum power is achieved. Which resistance value is set? |
| | |
| | <WRAP> <imgcaption imageNo13 | power adjustment> </imgcaption> \\ {{url>https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0mQrFaB2AzADgJwIGyU1qpDvBPOiIgCyqUCmAtGGAFABuIOVIATFZJ25gq3AQJ6JEYpPBYB3QeBHgwPJaJYAnFWuFDkOdVHBxI83pAp7e-I2e38B1xzemOzCl3wGpUh71DmAQFcroGecEZUodYeIF620dwBZgBGIKhCYMjgmDk8yBBmAB4ZVpC68IhgCPHgFGwA9gA2AC4AhgDmdAA6AM59jQCumgDGdCylEmroiKg8uvh1YBQADo1ydJr9PT0AdgC2dK1bAJZ7nUGWRtmGsSyr8THKSWFFgajIPuhCL5HW7xKZRA6EM6BmmGWFGa5zo7U0kxBah4xBAmGSSyEFAAqoiCLxVCZkmBqOA1ECwERwMhdFRdMhSSsQAAlRHCO7IKxUKzoCBCNSnRF+fzMDKcgncLEsoXocRgQwYEWQ-kgAAy5lQ8Fp3Awvw0pXg1zA2EowlytBV6tKVEwtBWtEN1VBUJAuNKqBNqjUHruEmWaitZTt8rKVmNLoAkiw6eJbNZfHdlAJMDgNX4jJrtYF3cgcs6qKKsC7mo12gATFiNZbGAs4O3QCSMKwN+CMGrGNQ6yu8HIQHL8TCQnjQKSwP0QIqwSDc8G8iQsDB1JyRdxq0tl-rMuh9U59Dp7cabgD66qAA noborder}} </WRAP> |
| |
| ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ | ~~PAGEBREAK~~ ~~CLEARFIX~~ |
| |
| <WRAP right> | <imgref imageNo14> shows three diagrams: |
| <imgcaption BildNr14 | Strom-Spannungs-Diagramm, Leistungs-Spannungs-Diagramm und Wirkungsgrad-Spannungs-Diagramm> | |
| </imgcaption> | |
| {{drawio>StromSpannungsDiagrammMitLeistung}} | |
| </WRAP> | |
| |
| <imgref BildNr14> zeigt drei Diagramme: | * Diagram top: current-voltage diagram of a linear voltage source. |
| * Diagramm oben: Strom-Spannungs-Diagramm der linearen Spannungsquelle. | * Diagram in the middle: source power $P_\rm S$ and consumer power $P_\rm L$ versus delivered voltage $U_\rm L$. |
| * Diagramm mittig: Quellenleistung $P_Q$ und Verbraucherleistung $P_L$ über abgegebene Spannung $U_L$ | * Diagram below: Reference quantities over delivered voltage $U_\rm L$. |
| * Diagramm unten: Bezugsgrößen über abgegebene Spannung $U_L$ | |
| |
| Die beiden Leistungen sind wie folgt definiert: | The two powers are defined as follows: |
| * Quellenleistung: $\, \, \large{ P_Q = U_0 \cdot I_L} $ | |
| * Verbraucherleistung: $\large{ P_L = U_L \cdot I_L} $ | |
| |
| - Beide Leistungen $P_Q$ und $P_L$ sind ohne Stromfluss gleich 0. Die Quellenleistung wird maximal, bei maximalem Stromfluss, also wenn der Verbraucherwiderstand $R_L=0$. In diesem Fall fließt die gesamte Leistung über den internen Widerstand ab. Der Wirkungsgrad fällt auf $0\%$. Dies ist beispielsweise bei einer durch einen Draht kurzgeschlossenen Batterie der Fall. | * source power: $\, \, \large{ P_\rm S = U_0 \cdot I_\rm L} $ |
| - Wird der Verbraucherwiderstand gerade so groß wie der Innenwiderstand $R_L=R_i$, so ergibt sich ein Spannungsteiler bei dem die Verbraucherspannung gerade die halbe Leerlaufspannung wird: $U_L = {{1}\over{2}}\cdot U_{LL}$. Andererseits ist auch der Strom halb so groß, wie der Kurzschlussstrom $I_L=I_{KS}$, da der Widerstand an der idealen Spannungsquelle doppelt so groß als im Kurzschlussfall. | * consumer power: $\large{ P_\rm L = U_\rm L \cdot I_\rm L} $ |
| - Wird der Verbraucherwiderstand hochohmig $R_L\rightarrow\infty$, so fließt zwar immer weniger Strom, aber immer mehr Spannung fällt am Verbraucher ab. Damit steigt der Wirkungsgrad und nähert sich $100\%$ für $R_L\rightarrow\infty$. | |
| |
| Der ganze Zusammenhang kann in einer [[https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?running=false&ctz=CQAgjCAMB0mQrFaB2AzADgJwIGyU1qpDvBPOiIgCyoBQAbiALSY4gBMVkzr4VVUQV0qDuMeLQDuIKhTD8QveQMi0ATorbLwePivBxV09pDkLO3bao2oT4ZG1vcLgsHCkgnHZOw6nvvkY6zj46AVAeLGzsoVEcwtYc6GYCLlZIhmC07GC+NL44AvwUYp5+hnAAVAAUAIZMAEYAlDUNTADGTR4uhTK2IL1BXtoYAlYeXjG+o+FB+Rycfb65JbQA5pTsFLzwW+C5ESbImxS9uxSyMiAACgD6ADLdwmAHaQpBPanPB0PoArwzcbSebsRYg0KqBrMFb7ZbITAcAgRKEmCj9eCYCBgQa0AAeCwMyxwWIQVzAFAAygAHWoAO1pAFdaWsAM4ARwZAFMADbczl4hapbjwSDHdioMkUe6cgCWLIALkzWQBbTksllKgA6LNqyu1ADVOWoGmpagz2gALI3dfzabGWd42ihTYKzWhUzx-PSe1KhCBiCZ2EZBhwRVDIbhEMYKYYKf0RaSTYSTCETL28ea8X6+vL9F2qfGgkDoNihrCSkDcmW0zm1NT8-E4aLEEDIZ34CsAVQF6F8OV8yQ4YGo4ECApeYz97C0yBH5JAACVx0R7HJ+uSIGNfDKBVtoi9Ec75BWl-iiM5sZ4WzkEVuQI9Cxj9tFkFiwLfwBRT94JblnOgsXFMlfApbpBxGSBoxUAVUCfXtPFfYs5wobsz0QksEIRcs71A-EuGOd8LjACUTE3Ud7xgzBfyomRSXfNgxhQmC3FHaZL1yOdfAfK9f0vIg5HfCsAEk0wEOJ5jiVRw24Jh13eb14wLQVoVCeAcF8JhsQ-edpTlRVmRZVV1S1HVaW1AATI1tWqGVLNqPlaSabUAEUuV5fkUX8TTdAxCAmD2VQjhOaE9nOaEFAEO5nPWYK4jCph0ADaRLxdS8mBxaRZI0gEvUkyJEpCi5+k0gLsgOCSYWKaFMECMoTAqSAanqZomo6LoNCy70EodfQYEySIlAUbrvSCYaSooYagWYOSxOKrMPBS2JeHzDwJN6NKMtcCKUkOA4cFiF4CkHTTQ2cEAGgAejqTUqT6sAug2BwJoKp7mEuIJ4phfaNJhIJvsKgYDp+Dwwt6f7NvBgR-uGwLRVbHAJsO1tcqRgROXlWpaChQoZPtVtMARfzVkbKg-LAdDUDJhGKwAdRlNQAGslRZNZTUstRlRleV5W5JVaAAezKQYZGxPJoAJiXJalzBOW88BZfJwRpk8AXWyxIR8BKaB1MQGB1d8RC6EF3ZwA1pFdegCA+3AXXaAwK5LDgWinfuWoFUkWyjQVOlzO1BcHloIA|ausführlichen Simulation]] nochmals analysiert werden. | - Both power $P_\rm S$ and $P_\rm L$ are equal to 0 without current flow. The source power becomes maximum, at maximum current flow, that is when the load resistance $R_\rm L=0$. In this case, all the power flows out through the internal resistor. The efficiency drops to $0~\%$. This is the case, for example, with a battery shorted by a wire. |
| | - If the load resistance becomes just as large as the internal resistance $R_\rm L=R_\rm i$, the result is a voltage divider where the load voltage becomes just half the open circuit voltage: $U_\rm L = {{1}\over{2}}\cdot U_{\rm OC}$. On the other hand, the current is also half the short-circuit current $I_\rm L=I_{\rm SC}$, since the resistance at the ideal voltage source is twice that in the short-circuit case. |
| | - If the load resistance becomes high impedance $R_{\rm L}\rightarrow\infty$, less and less current flows, but more and more voltage drops across the load. Thus, the efficiency increases and approaches $100~\%$ for $R_{\rm L}\rightarrow\infty$. |
| |
| ==== Die Bezugsgrößen Wirkungsgrad und Ausnutzungsgrad ==== | <WRAP> <imgcaption imageNo14 | current-voltage diagram, power-voltage diagram and efficiency-voltage diagram> </imgcaption> {{drawio>StromSpannungsDiagrammMitLeistung.svg}} </WRAP> |
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| Um das untere Diagramm in <imgref BildNr14> zu verstehen, sollen hier nochmals die Definitionsgleichungen der beiden Bezugsgrößen beschrieben werden: | The whole context can be investigated in this [[https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=CQAgzCAMB0mQrFaB2MAOAnAgbJDmxJt4BGEeDckAFgngFMBaEkgKADcRGNsuAmeL25Cw8PlAnVIVabOjxWAJxDZqXUeJJ806sRJJxIrAO4gSyEXr6QdjDVCXhr652GeMBvaQaOm30jz41a1s+IIdTElx+cKiYtV8uHnikoU8HZTC1OysbXXE5QzY+LRBkxlUzUuZtCQhrQzgAKgAKAENGACMASlbOxgBjbpMnAPt0bPtE-xSJlKMAczMMcTtNFa442VZrZGXVypINxjRpNQAFAH0AGVZOzb4RDEoSakpmNDIje+wyYRAwtIwF5WAAPB6IRhSSjUIRSXhqEg6AA2AEsAHb0NqKAA6AGcAGoAe2RABc2gt6PiAMpEgCuigG9DBmzAe2YeTsAQMiEROjapPxpIAFlS8bSGUyRuZLJpajkCiMQikogEsg4AA7gNCTPRzQKIiTTdzjE3OIxs6TaWymsZ6L4RUb8QROg0OcGMZB-bTsij8HU0Mw6ACqLMY8HZ2lWpH4yBhZkV4JYk1ijxcZD5IAASiySIR1EizG4C7yEyBUSztGk0Ig+Ph-eJMznwYQ1adwERY3tEeJbuCpJH69Q8-wMKXSn3wBgIFyIFJIa3A4XQy2DOpkGowHE7F6l72WYQZ+ggZy2d2gyAAJKsS0ufIqXWaI1hvPsvNA2xac+F85E4z0XE8QAWSxPEGXoABbeh0VJPE7lZdkx21cA9iMXYJAqBIuHbC5LmpVgljGApNi8BwSlWcpKhOblaiBAFGmadoul6JihkcNZ7yhG09EKOA2FMf4FS4ahuMVSI0nCQT1TQ0o+GQVYRIBNBP1KK0QE6AB6docQ1GBIBIYYlmBT9eGMsxSLQyA9jMriaDgYSdDUehyXgoI-mSYdTJBcE3M2KyaC3Py1EzABhNpkQGOlkQFVEiXRfEiQAM3xABRRLEtRAZUWggYAE8CNSFIpLybYln+AJki2Mj-LkhSdFqrhKlw-ClmSaRKosnZ-PKYt5LvNRADHgPhGC6vZKLUPrMMDIadKVZT73VITLL2BrmF4Vbi1wycqIMHQSHgbIeSXflBTxEUxWuIk2gAE1GgFJPsIIxmBabhru5UhKRSZqGCkAZo1O7BJ29wmr+khZvQwTixqIjppIEbIcUoSprsF7BvBgHIeh+w1vUNGwZGj0I3UNA0iPbBHLLX9-1xHF0RAto8WgSt7LsDAyD4MBJlQPcQGpgCcTphmmdYIkAQfSQokbaBnlluX5YwJg4hIJXUPF8QIEvFpg26fFzmRIlSVFmhDWkUFPn03gSGgAQkDIDmkFWCwTfAJAEAkNKMqynLcvxZy2mNl6HXNgw4kQGAHafT0reIv5nYlRkxX5wCrmpfEWgWRR6Gg3W8TadFrvxS6br1v8BbxK5rnTrPruGdBXYAMQdHw7NZshrkZ0ljFRa6ALO-PC7xLMblYIA|Simulation with a resistor]] or [[https://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?ctz=CQAgzCAMB0lw7ADgIwCYCsVrOWMyAWRA9MSANnMVXInUREwLoFMBaHAKADcQ2BOcnwxCBosOlRRpBSI2lyY6TgCcQ5AnwlS0DNtunI4kTgHcQyeOMkhUkPQZNqNctqkRyXw5ELlGT5mB2wqiadnqooVBmFuSukZo+IZoBfILJaaIi0WoJWjbh+VKKsHDInKhoIOlsGhZVHO7SEHbGcABUABQAhmwARgCUXX1sAMYDMUGuBmDERdGBwW5Rs5rLKZwA5hb8Uvo6u3xJihWQ8Dt7dciHbB4gmgAKAPoAMpx9RzRa-PwWBL8cFDRD7kZCZWzBMC+TgAD0+mDYsl+BFEsiEiQYABsAJYAOxY3RUAB0AM4ANQA9piAC7dTYsUkAZQpAFcVKMWLCjmBzhx7FpXEYmBYGN1qaTqQALBkk5lsjkxSzWHRNfQ2VKFdaxeJREwAB3AczVUlWGQgfkmSxmVsgGx5cncDhsU3mYIdlvi8BNSzyJjhbHgYLciF56AB7k0GJAAFUuWx0Lz3Ht0EHUPBkRZilycGsgokvvswVGAErZshaZAMXB7fDCqrYrl4PbuTBgAhrJP3EUgUtwttZO4GNzwc75kBvOGyRP8BgEXDCfh1qQT8D8CD6SAQWQIshyKOxvtGLTwTT4cSBrtVFdkdezORkBwjy8MACSnHtWhrNjqxos0lQca4LyuD3noaCjt2DwUqYLDEiSACyBIkmyLAALYsLi1Iku83K8ouhrgOcJh2ERfB1K4dyPE8jJbNI+x0cc0SVHsNQ-ncjQMPethtB0PT9EMfHjKon7zIiTrFFgxjlOYYiiUQ8ypEkWqyVqxFVGmezyY6RxVA6IB9AA9D0RJ6jAkDIBM2xQmBQjWbECinOcdlifccB8PJmgsLSOGhEG6RzrZ0Jwr5RxnPc+ChZG3YAMLdJiowspiYrYhSuKkhSABmpIAKIZRl2KjNiGGjAAnrRKl5BV-InNssmuOkjHEWFGnuQwLW1FFzw0ds6RyA1vhMWFNRBCAXoiZogBjwKgbCOdUoh1GNHVdlNJkxNpv6VY4s3tUk7UjVRK4-kYVboGsQrPiAYoStKpIvBS3QACbbVEG2yFoULLdN238r+la5u2n2rSR4JLY0rh1JNyBA2FKkjWD40gBNyAzcDLm-gGNYA5D0O8nDQ5KXg6KI8jcYJloiBZLeVCXlIUEwcSRK4oh3QktA2b4foIYQgCUIZlUdOwUSjPM6znAZbYiARJL4A+tLI3INAmBmQBxYS1LbVvcGnF-sEMAtAo2Bhsgp38MwkC7JwFK2OoKQgDCKCQDYBDQD8rtu+7-DsEkyBe6RxSK-+4CSZAEkvp00YDKSDyYhS1KW-ciTSPbRgPUICuhB7meexwae+zrWBuowfvSLl+WFcVJWkl53TxzoScO6n8gwGCUj+0rmYG+3erQYLJKpddMox4974MBAABihf+K5bkcOOLPUqY2IPbBJK0riD2ksWrycEAA|this one with a variable load]]. |
| |
| Der **Wirkungsgrad** $\eta$ beschreibt die abgegebene Leistung (Verbraucherleistung) in Verhältnis zur zugeführten Leistung (Leistung der idealen Quelle): | ==== The Characteristics: Efficiency and Utilization Rate ==== |
| \begin{align*}\eta = {{P_{ab}}\over{P_{zu}}} = {{R_L\cdot I_L^2}\over{(R_L+R_i) \cdot I_L^2}} | |
| \quad \Rightarrow \quad \boxed{ \eta = {{R_L}\over{R_L+R_i}} } | To understand the lower diagram in <imgref imageNo14 >, the definition equations of the two reference quantities shall be described here again: |
| | |
| | The **efficiency** $\eta$ describes the delivered power (consumer power) concerning the supplied power (power of the ideal source): |
| | \begin{align*} |
| | \eta = {{P_{\rm out}}\over{P_{\rm in}}} |
| | = {{R_{\rm L}\cdot I_{\rm L}^2}\over{(R_{\rm L}+R_{\rm i}) \cdot I_{\rm L}^2}} \quad \rightarrow \quad \boxed{ \eta |
| | = {{R_{\rm L}} \over {R_{\rm L}+R_{\rm i}}} } |
| \end{align*} | \end{align*} |
| |
| Der **Ausnutzungsgrad** $\varepsilon$ beschreibt die abgegebene Leistung in Verhältnis zur maximal möglichen Leistung der idealen Quelle. Dabei wird nicht (wie beim Wirkungsgrad) von der aktuell zugeführten Leistung ausgegangen, sondern von der bestmöglichen Leistung der idealen Quelle, d.h. im Kurzschlussfall: | Once we want to get the **relative maximum power** out of a system (so maximum power related to the input power) the efficiency should go towards $\eta \rightarrow 100\%$. This situation close to (1.) in <imgref imageNo14>. |
| \begin{align*}\varepsilon = {{P_{ab}}\over{P_{zu,max}}} = {{R_L\cdot I_L^2}\over{{U_0^2}\over{R_i}}} = {{R_L\cdot R_i \cdot I_L^2} \over {U_0^2}} = {{R_L\cdot R_i \cdot \left({{U_0}\over{R_L+R_i}}\right)^2} \over {U_0^2}} | |
| \quad \Rightarrow \quad \boxed{\varepsilon = {{R_L\cdot R_i } \over {(R_L+R_i)^2}} = {{R_L} \over {(R_L+R_i)}}\cdot {{R_i} \over {(R_L+R_i)}}} | Application: |
| | - In __power engineering__ $\eta \rightarrow 100\%$ is often desired: We want the maximum power output with the lowest losses at the internal resistance of the source. Thus, the internal resistance of the source should be low compared to the load $R_{\rm L} \gg R_{\rm i} $. |
| | |
| | The **utilization rate** $\varepsilon$ describes the delivered power $P_{\rm out}$ concerning the maximum possible power $P_{\rm in, max}$ of the ideal source. |
| | Here, the currently supplied power is not assumed (as in the case of efficiency), but the best possible power of the ideal source, i.e. in the short-circuit case: |
| | \begin{align*} |
| | \varepsilon = {{P_{\rm out}}\over{P_{\rm in, max}}} |
| | = {{R_{\rm L} \cdot I_{\rm L}^2}\over{{U_0^2}\over{R_i}}} |
| | = {{R_{\rm L}\cdot R_{\rm i} \cdot I_{\rm L}^2}\over {U_0^2}} |
| | = {{R_{\rm L}\cdot R_{\rm i} \cdot \left({{U_0}\over {R_{\rm L}+R_{\rm i}}}\right)^2} \over {U_0^2}} \quad \rightarrow \quad \boxed{\varepsilon |
| | = {{R_{\rm L}\cdot R_{\rm i}} \over {(R_{\rm L}+R_{\rm i})^2}} |
| | = {{R_{\rm L}} \over {(R_{\rm L}+R_{\rm i})}}\cdot {{R_{\rm i}} \over {(R_{\rm L}+R_{\rm i})}}} |
| \end{align*} | \end{align*} |
| |
| In der __Energietechnik__ ist eine Situation nahe an (1.) in <imgref BildNr14> gewünscht: Maximale Leistungsabgabe bei geringsten Verlusten am Innenwiderstand der Quelle. Der Innenwiderstand der Quelle sollte also im Vergleich zum Verbraucher niedrig sein $R_L \gg R_i $. Der Wirkungsgrad soll gegen $\eta \rightarrow 100\%$ gehen. | In other applications, the **absolute maximum power** has to be taken from the source, without consideration of the losses via the internal resistance. This corresponds to the situation (2.) in <imgref imageNo14>. For this purpose, the internal resistance of the source and the load are matched. This case is called **{{https://en.wikipedia.org/wiki/Impedance_matching|impedance matching}} ** (the impedance is up to for DC circuits equal to the resistance). The utilization rate here becomes maximum: $\varepsilon = 25~\%$. |
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| | Application: |
| | - In __communications engineering__ the impedance matching of the source (the antenna) and the load (the signal-acquiring microcontroller) uses resistors, capacitors, and inductors. There, we want to get the maximum power out of an antenna. For this purpose, the internal resistance of the source (e.g., a receiver) and the load (e.g., the downstream evaluation) are matched. An example can be seen in this {{electrical_engineering_1:anp084a_en_-_impedance_matching_for_near_field_com.pdf#page=4|application note for near field communication}}. |
| | - Furthermore, also for __photovoltaic cells__ one wants to get the maximum power out. In this case, the concept is often called **{{https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_power_point_tracking|Maximum Power Point Tracking (MPPT)}} ** |
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| | The impedance matching/power matching is also [[https://www.youtube.com/watch?v=BJLlXUD6CsM|here]] explained in a German video. |
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| | ==== Exercises ==== |
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| | <panel type="info" title="Exercise 3.3.1 Simplification by Norton / Thevenin theorem"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> <WRAP> |
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| | Simplify the following circuits by the Norton theorem to a linear current source (circuits marked with NT) or by Thevenin theorem to a linear voltage source (marked with TT). |
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| | <imgcaption BildNr3_0 | Simplification by Norton / Thevenin theorem> </imgcaption> {{drawio>BildNr3_0.svg}} </WRAP> |
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| | <button size="xs" type="link" collapse="Loesung_3_3_1_1_Lösungsweg">{{icon>eye}} Solution</button><collapse id="Loesung_3_3_1_1_Lösungsweg" collapsed="true"> |
| | To substitute the circuit in $a)$ first we determine the inner resistance. |
| | Shutting down all sources leads to |
| | \begin{equation*} |
| | R_{\rm i}= 8~\Omega \end{equation*} |
| | |
| | Next, we figure out the current in the short circuit. |
| | In case of a short circuit, we have $2~V$ in a branch which in turn means there must be $−2~V$ on the resistor. |
| | The current through that branch is |
| | \begin{equation*} I_R=\frac{2~V}{8~\Omega} \end{equation*} |
| | |
| | The current in question is the sum of both the other branches |
| | \begin{equation*} I_S= I_R + 1~A \end{equation*} |
| | |
| | To substitute the circuit in $b)$ first we determine the inner resistance. |
| | Shutting down all sources leads to |
| | \begin{equation*} R_{\rm i}= 4 ~\Omega \end{equation*} |
| | |
| | Next, we figure out the voltage at the open circuit. |
| | Thus we know the given current flows through the ideal current source as well as the resistor. |
| | The voltage drop on the resistor is |
| | \begin{equation*} R_{\rm i}= -4~\Omega \cdot 2~A \end{equation*} |
| | |
| | The voltage at the open circuit is |
| | \begin{equation*} U_{\rm S}= 2~V + 1~V + U_R \end{equation*} |
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| | </collapse> <button size="xs" type="link" collapse="Loesung_3_3_1_2_Lösungsweg">{{icon>eye}} Final result</button><collapse id="Loesung_3_3_1_2_Lösungsweg" collapsed="true"> |
| | The values of the substitute resistor and the currents in the branches are |
| | \begin{equation*} |
| | \text{a)} \quad R=8~\Omega \qquad I=1.25~A \\ |
| | \text{b)} \quad R=4~\Omega \qquad U=-5~V |
| | \end{equation*} |
| | </collapse> |
| | </WRAP></WRAP></panel> |
| | |
| | <wrap anchor #exercise_3_3_2 /> |
| | <panel type="info" title="Exercise 3.3.2 Internal resistances and Efficieny"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> <WRAP> |
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| | For the company „HHN Mechatronics & Robotics“ you shall analyze a competitor product: a simple drilling machine. This contains a battery pack, some electronics, and a motor. For this consideration, the battery pack can be treated as a linear voltage source with $U_{\rm s} = ~11 V$ and internal resistance of $R_{\rm i} = 0.1 ~\Omega$. The used motor shall be considered as an ohmic resistance $R_{\rm m} = 1 ~\Omega$. |
| | |
| | The drill has two speed-modes: |
| | - max power: here, the motor is directly connected to the battery. |
| | - reduced power: in this case, a shunt resistor $R_{\rm s} = 1 ~\Omega$ is connected in series to the motor. |
| | |
| | {{drawio>sketchDrillingMachine.svg}} |
| | |
| | |
| | Tasks: |
| | - Calculate the input and output power for both modes. |
| | - What are the efficiencies for both modes? |
| | - Which value should the shunt resistor $R_s$ have, when the reduced power should be exactly half of the maximum power? |
| | - Your company uses the reduced power mode instead of the shunt resistor $R_{\rm s}$ multiple diodes in series $D$, which generates a constant voltage drop of $U_D = 2.8 ~V$. \\ What are the input and output power, such as the efficiency in this case? |
| | |
| | You can check your results for the currents, voltages, and powers with the following simulation: |
| | |
| | {{url>http://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html?hideSidebar=true&ctz=CQAgjCAMB0l5AWAnC1b0DYqwExgZDgUgOxgkkIKVYDMkIArCArUwKYC0YYAUAG4gkWHCRxCsYHAA4ocguAgNl0RrwBOE8DPBJxU2Sr6acjEWJCnJeucZC0cDcnUfbD4ASzjgSWAk51lL0todxU1AGVdfR0rNzlxADMAQwAbAGd2OVpeAHdLM3AqAutxSDyS+IcAwwq4nnF-RTKKpoavGqgK6p8XJxty-J6wG3qB1u9nDuiu-LabYfH84UsLONEWgA9LCBGSe1lHBgRLE4BVXm3aQ8h9xgY8Y9OQdMv4m3xmJGYTohAAJTe+CwKCKSHAhBY4FkAEs3jJxEQIDhQUQTr8ToDtijDghZLQpAUICcwLIALZvVhODDHajgDBsDEgC7bKiyMAYfYIGk+J6kkAAETetAQ+gZ9kY4I5fmeWIlUrI9kV5HRz1e2PwQmR9CEqr+EV4QA noborder}} |
| | |
| | </WRAP></WRAP></WRAP></panel> |
| | |
| | #@TaskTitle_HTML@#3.3.3 Power of two pole components #@TaskText_HTML@# |
| | |
| | Two heater resistors (both with $R_\rm L = 0.5 ~\Omega$) shall be supplied with two lithium-ion-batteries (both with $U_{\rm S} = 3.3 ~\rm V$, $R_{\rm i} = 0.1 ~\Omega$). |
| | |
| | 1. What are the possible ways to connect these components? |
| | |
| | #@HiddenBegin_HTML~Solution333_1,Solution~@# |
| | {{drawio>electrical_engineering_1:diagram333_1.svg}} |
| | #@HiddenEnd_HTML~Solution333_1,Solution ~@# |
| | |
| | 2. Which circuit can provide the maximum power $P_{\rm L ~max}$ at the loads? |
| | |
| | #@HiddenBegin_HTML~Solution333_2,Solution~@# |
| | |
| | At the maximum utilization rate $\varepsilon = 0.25$ the maximum power $P_{\rm L ~max}$ can be achieved. \\ |
| | The utilization rate is given as: |
| | \begin{align*} |
| | \varepsilon &= {{P_{\rm out}}\over{P_{\rm in, max}}} \\ |
| | &= {{R_{\rm L}\cdot R_{\rm i}} \over {(R_{\rm L}+R_{\rm i})^2}} \\ |
| | \end{align*} |
| | |
| | As near the resulting equivalent internal resistance approaches the resulting equivalent load resistance, as higher the utilization rate $\varepsilon$ will be.\\ |
| | Therefore, a series configuration of the batteries ($2 R_{\rm i} = 0.2~\Omega$) and a parallel configuration of the load (${{1}\over{2}} R_{\rm L}= 0.25~\Omega$) will have the highest output. |
| | #@HiddenEnd_HTML~Solution333_2,Solution ~@# |
| | |
| | #@HiddenBegin_HTML~Result333_2,Result~@# |
| | The following configuration has the maximum output power. |
| | |
| | {{drawio>electrical_engineering_1:diagram333_3.svg}} |
| | #@HiddenEnd_HTML~Result333_2,Result~@# |
| | |
| | |
| | 3. What is the value of the maximum power $P_{\rm L ~max}$? |
| | |
| | #@HiddenBegin_HTML~Solution333_3,Solution~@# |
| | The maximum utilization rate is: |
| | \begin{align*} |
| | \varepsilon &= {{{{1}\over{2}} R_{\rm L} \cdot 2 R_{\rm i} } \over { ({{1}\over{2}} R_{\rm L} + 2 R_{\rm i} )^2}} \\ |
| | &= { {0.25 ~\Omega \cdot 0.2 ~\Omega } \over { ( 0.25 ~\Omega + 0.2 ~\Omega )^2}} \\ |
| | &= 24.6~\% |
| | \end{align*} |
| | |
| | Therefore, the maximum power is: |
| | \begin{align*} |
| | \varepsilon &= {{P_{\rm out}}\over{P_{\rm in, max}}} \\ |
| | \rightarrow P_{\rm out} &= \varepsilon \cdot P_{\rm in, max} \\ |
| | &= \varepsilon \cdot {{U_s^2}\over{R_{\rm i}}} \\ |
| | &= 24.6~\% \cdot {{(3.3~\rm V)^2}\over{0.1~\Omega}} \\ |
| | \end{align*} |
| | |
| | #@HiddenEnd_HTML~Solution333_3,Solution~@# |
| | |
| | #@HiddenBegin_HTML~Result333_3,Result~@# |
| | \begin{align*} |
| | P_{\rm out} = 26.8 W |
| | \end{align*} |
| | #@HiddenEnd_HTML~Result333_3,Result~@# |
| | |
| | 4. Which circuit has the highest efficiency? |
| | |
| | #@HiddenBegin_HTML~Solution333_4,Solution~@# |
| | The highest efficiency $\eta$ is given when the output power compared to the input power is minimal. \\ |
| | A parallel configuration of the batteries (${{1}\over{2}} R_{\rm i} = 0.05~\Omega$) and a series configuration of the load ($2 R_{\rm L}= 1.0~\Omega$) will have the highest efficiency. |
| | #@HiddenEnd_HTML~Solution333_4,Solution~@# |
| | |
| | #@HiddenBegin_HTML~Result333_4,Result~@# |
| | {{drawio>electrical_engineering_1:diagram333_4.svg}} |
| | #@HiddenEnd_HTML~Result333_4,Result~@# |
| | |
| | 5. What is the value of the highest efficiency? |
| | |
| | #@HiddenBegin_HTML~Solution333_5,Solution~@# |
| | The efficiency $\eta$ is given as: |
| | \begin{align*} |
| | \eta &= { {2 R_{\rm L} }\over{ 2 R_{\rm L}+ {{1}\over{2}} R_{\rm i} }} \\ |
| | &= { { 1.0~\Omega }\over{ 1.0~\Omega + 0.05~\Omega }} |
| | \end{align*} |
| | |
| | #@HiddenEnd_HTML~Solution333_5,Solution~@# |
| | |
| | #@HiddenBegin_HTML~Result333_5,Result~@# |
| | \begin{align*} |
| | \eta = 95.2~\% |
| | \end{align*} |
| | #@HiddenEnd_HTML~Result333_5,Result~@# |
| | \\ \\ |
| | #@HiddenBegin_HTML~Details333,Detailed Comparison~@# |
| | {{drawio>electrical_engineering_1:diagram333_2.svg}} |
| | |
| | #@HiddenEnd_HTML~Details333,Detailed Comparison~@# |
| | |
| | |
| | #@TaskEnd_HTML@# |
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| | |
| | <panel type="info" title="Exercise 3.3.n Simplification by Norton / Thevenin theorem"> <WRAP group><WRAP column 2%>{{fa>pencil?32}}</WRAP><WRAP column 92%> <WRAP> |
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| | Further German exercises can be found in ILIAS (see [[https://ilias.hs-heilbronn.de/goto.php?target=file_488031_download&client_id=iliashhn|here]], page 13 to 15) |
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| | </WRAP></WRAP></WRAP></panel> |
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| In der __Nachrichtentechnik__ ist eine Situation eine andere und entspricht der Situation (2.): Es soll die maximale Leistung aus der Quelle entnommen werden, ohne Rücksicht auf die Verluste über den Innenwiderstand. Dazu wird der Innenwiderstand der Quelle (z.B. eines Empfängers) und des Verbrauchers (z.B. der nachgelagerten Auswertung) aufeinander abgestimmt. Dieser Fall wird **{{wpde>Leistungsanpassung| Leistungsanpassung oder Widerstandsanpassung}}** genannt. Der Ausnutzungsgrad wird hier maximal: $\varepsilon = 25\%$ | |
| |
| Die Leistungsanpassung ist wird auch [[https://www.youtube.com/watch?v=BJLlXUD6CsM|hier]] nochmals in einem Video erklärt. | |